Хід заняття

І. Мотивація. Учні відтворюють на дошці доведення вище перелічених тверджень.

1-й учень

Д ано: ΔАВС, АL₁,ВL₂,СL₃ – бісектриси.

Довести: АL₁∩ВL₂∩СL₃ = I.

Доведення. АL₁∩ВL₂ = I (за теоремою про пряму, що не проходить через жодну з вершин трикутника і перетинає одну з його сторін. Розглянути ΔВL₂С і пряму АL₁).

ІК АС, ІМ АВ, ІN BC. IK=IM=IN (за властивістю точок бісектриси кута).

Оскільки точка І рівновіддалена від сторін АСВ, то І СL₃. Отже, АL₁∩ВL₂∩СL₃ = I.

2-й учень

Дано: ΔАВС, АН₁,ВН₂,СН₃ – висоти.

Д овести: АН₁∩ВН₂∩СН₃ = Н.

Доведення. Проведемо через вершини ΔАВС прямі паралельні протилежним сторонам:

В С₁А₁, С₁А₁||АС; С В₁А₁, В₁А₁||АВ; А В₁С₁, В₁С₁||СВ.

Для ΔА₁В₁С₁ висоти ΔАВС є серединними перпендикулярами, що перетинаються, як відомо, в одній точці.

Отже, АН₁∩ВН₂∩СН₃ = Н.

3 -й учень

Дано: ΔАВС, АМ₁,ВМ₂,СМ₃ – медіани.

Довести: АМ₁∩ВМ₂∩СМ₃ = М,

АМ:ММ₁ = ВМ:ММ₂ = СМ:ММ₃ =2:1.

Доведення. АМ₁∩ВМ₂ = М (за теоремою про пряму, що не проходить через жодну з вершин трикутника і перетинає одну з його сторін. Розглянути ΔВМ₂С і пряму АМ₁). К АМ, АК = КМ; L ВМ, ВL = LМ.

Чотирикутник КLМ₁М₂ – паралелограм (ознака за двома протилежними сторонами). Тоді КМ = ММ₁. Оскільки КМ = АМ, то ММ₁ = АМ. Отже, АМ:ММ₁ = 2:1.

Аналогічно доводиться рівність ВМ: ММ₂ =2:1.

Припустимо, що М СМ₃ і, нехай СМ₃∩АМ₁ = М', М' відмінна від М. Тоді АМ':М'M₁ =2:1, чого бути не може. Отже, точки М і М' збігаються.

Рівність СМ:ММ₃ =2:1 доводиться аналогічно доведенню попередніх рівностей.

Учитель звертає увагу учнів на різноманітність доведень і підводить до запитання: «Чи можна довести перетин бісектрис, висот і медіан трикутника використовуючи одну спільну ідею доведення?»

II. Формулювання і доведення теореми Чеви.

Учитель повідомляє учням, що довести попередні твердження можна, якщо знати наступну теорему.

Теорема Чеви. Прямі, що проходять через вершини ΔАВС і перетинають його сторони АВ, ВС, СА (або їх продовження) відповідно в точках С₁, А₁ і В₁, перетинаються в одній точці тоді і тільки тоді, коли виконується рівність

.

Д оведення теореми складається з двох частин.