Доведення необхідності

Дано: ΔАВС, АА₁∩ВВ₂∩СС₃ = N.

Довести: .

Доведення. Для доведення використаємо властивість площ трикутників з рівною висотою. .

Оскільки і , то (1).

Аналогічно, враховуючи, що , , , одержуємо наступні рівності:

(2), (3).

Перемножимо почленно рівності 1-3:

.

Доведення достатності

Дано: ΔАВС, А₁ ВС, В₁ АС, С₁ АВ, .

Довести: АА₁∩ВВ₂∩СС₃ = N.

Доведення. Нехай АА₁∩ВВ₂=N і N СС₁. Проведемо пряму СN, СN АВ=С₁'.

Точка С₁' відмінна від точки С₁. Тоді (за доведеною необхідністю).

Враховуючи дану в умові рівність, одержуємо , чого бути не може.

Отже, точки С₁ і С₁' збігаються, і N СС₁. Теорему доведено.

Після доведення теореми учень робить повідомлення про її автора. Джованні Чева (1648-1734) - італійський інженер гідравлік і геометр. Народився в Мілані. Створив учення про січні, яке поклало початок новій синтетичній геометрії. Це вчення викладено в роботі «Про прямі, що взаємно перетинаються» (1678). Властивості прямолінійних фігур доведені в цій роботі за допомогою розгляду властивостей центра інерції (ваги) системи точок.

Ш . Доведення перетину бісектрис, висот і медіан трикутника за допомогою теореми Чеви.

Учні самостійно доводять твердження. При потребі вчитель надає консультації. Троє учнів відтворюють відповідні доведення на дошці.

1. За властивістю бісектриси внутрішнього кута трикутника:

, , .

Перемноживши отримані рівності, маємо .

2 . Згідно співвідношень у прямокутному трикутнику: , .

Тоді .

Аналогічно, і .

Перемноживши отримані рівності, маємо

.

3 . За означенням медіани:

, , .

Отже, .

Після обговорень доведень перетинів, учитель звертає увагу учнів на те, що теорема Чеви не дає можливості довести властивість точки перетину медіан, і пропонує розглянути ще одну теорему.

IV. Формулювання і доведення теореми Менелая.

Теорема Менелая. Якщо пряма перетинає сторони АС, ВС, АВ трикутника АВС (або їх продовження) в точках В,, А,, С,, то має місце співвідношення .

Д ано: пряма а, а∩АВ=С₁, а∩ВС=А₁, а∩АС=В₁.

Довести: .

Доведення. Проведемо СЕ||АВ.

ΔАВ₁С₁~ΔСВ₁Е. Тоді (1).

Δ С₁ВА₁~Δ ЕСА₁. Тоді (2).

Перемножимо почленно рівності (1) і (2): . Тоді .

Поділимо праву і ліву частини останньої рівності на .

Одержимо , або .

Теорему доведено.

Після доведення теореми учень знову робить повідомлення про її автора.

Менелай Александрійський (1-2 ст. н.е.) — грецький математик і астроном. %цв у Римі. Відомі його роботи в області сферичної тригонометрії Збереглося шість його книг про обчислення хорд і три книги «Сферики». Саме в третій книзі «Сферик» викладено теорему про пряму, що перетинає сторони трикутника, яку пізніше названо теоремою Менелая. За деякими відомостями, Менелай також вивчав криві на поверхні. Згідно арабських джерел, йому належить ще і робота з гідростатики.

Далі учитель разом з учнями доводить властивість точки перетину медіан.

Дано: ΔАВС, АМ₁, ВМ₂, СМ₃, – медіани, АМ₁∩ВМ₂∩СМ₃ = М.

Д овести: АМ:ММ₁ = ВМ:ММ₂ = СМ:ММ₃ = 2:1.

Доведення. Розглянемо ΔАВМ₂ і пряму М₃С.

Згідно теореми Менелая: .

(Під час виписування необхідної рівності, учитель звертає увагу учнів на те, як правильно треба «обходити» вершини трикутника і точки на його сторонах: від вершини до точки – від точки до наступної вершини і т.д.)

Оскільки АМ₃=М₃В і СА=2М₂С, то . Тому .

Далі учні самостійно доводять, що (розглянути ΔСАМ₁ і пряму ВМ₂) і (розглянути ΔСВМ₃ і пряму АМ₁).

V. Застосування теорем Чеви і Менелая до розв'язування задач

Задача 1. У ΔАВС проведено висоту ВН₂, АН₂:Н₂С = 1:2. Ортоцентр Н поділяє цю висоту у відношенні 3:2, починаючи від вершини трикутника. У якому відношенні дві інші висоти поділяють сторони трикутника, до яких вони проведені. Чи можна визначити вид цього трикутника?

Р озв'язання

Розглянемо ΔВН₂С і пряму АН₁.

За теоремою Менелая: .

Оскільки , , то .

Тому .

Для ΔАВС за теоремою Чеви

або .