Алгебраические операции

Сравнения. Кольцо классов вычетов

Множество Z можно разбить на классы чисел сравнимых между собой по модулю m и называемых классами вычетов по модулю m. Каждый класс вычетов имеет вид

так что

Каждым двум классам и независимо от выбора в них представителей k,l можно сопоставить классы, являющиеся их суммой или произведением, то есть на множестве классов вычетов по модулю m однозначным образом индуцируются операции и :

Так как определения этих операций сводятся к соответствующим операциям над числами из классов вычетов, то есть над элементами из Z, то {Zm,, } будет так же коммутативным кольцом с единицей . Оно называется кольцом классов вычетов по модулю m. Итак мы показали, что конечные кольца существуют. Приведем три примера, указывая отдельно таблицы сложения и умножения:

+	0	1
0	0	1
1	1	1

∙	0	1
0	0	0
1	0	1

+	0	1	2
0	0	1	2
1	1	2	0
2	2	0	1

∙	1	2
0	0	0
1	1	2
2	2	1

+	0	1	2	3
0	0	1	2	3
1	1	2	3	0
2	2	3	0	1
3	3	0	1	2

∙	1	2	3
0	0	0	0
1	1	2	3
2	2	0	2
3	3	2	1

Содержание