6. Ду 1 порядка с разделяющимися переменными и приводимые к ним.

I.

Теорема:пусть в областииопределены и непрерывны,, тогда общий интеграл дается квадратуройи задача Коши, гдеимеет единственное решение.

Доказательство:для любой точки изможет быть получено единственное решениеудовлетворяющее условию. Перепишемв виде:;;. Рассмотрим,.- непрерывная,- непрерывная. Длявыполняются условия теоремы о неявной функции, значит, найдется, обращающая уравнение в тождество:. Дифференцируем по:;;. Теорема доказана.

Если , то- решение, подозрительное на особое.

II.

Теорема:пусть в области:определены и непрерывны,,. Тогда общий интеграл дается квадратуройи задача Коши, гдеимеет единственное решение.

Доказательство:. Если, то. Сомножители непрерывны, значит, по предыдущей теореме- общий интеграл. Если, тои общий интеграл определяется аналогично. Теорема доказана.

Если , то- решение, подозрительное на особое. Если, то- решение, подозрительное на особое. Точка- особая.

III.

Такое уравнение решается аналогично предыдущему, но , если, не является решением, если.

IV.

Замена , где- новая неизвестная функция приводит к уравнению с разделяющимися переменными.

Иногда уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными некоторой заменой .

7. Однородные ДУ 1 порядка

или.

Уравнение -однородное, если- однородная функция нулевой степени однородности. Уравнение-однородное, если функцииоднородные одной степени однородности.

Функция -однородная степени , если.

Свойства однородного уравнения:

1. Для

2. Точка - особая

3. Изоклины – прямые, проходящие через .

4. ИК симметричны относительно .

Теорема:однородное уравнение длязаменой, где- новая неизвестная функция, приводится к уравнению с разделяющимися переменными.

Доказательство::;

;, значит. Подозрительными на особые являются решенияи.

Иногда удобнее делать замену .