Комбинаторика (Под_курсы) 2

Факториал

Для любого натурального числа n произведение обозначаетсяn! (читается «эн факториал»), т.е.

Считается, что 0!=1.

Пример 3.1. Вычислить

Решение. Так как и, то

Поскольку

и ,

то

Поэтому

Пример 3.2. Упростить выражение

(n1).

Решение. Так как и, то

Пример 3.3. Решить уравнение

, где n1.

Решение. Так как , то

Кроме того, . Итак, исходное уравнение равносильно уравнению

Если n=1, то уравнение примет вид

т.е. получается противоречие 0=1/6, следовательно, n=1 не является решением уравнения. Если n2, то уравнение примет вид

т.е. . Отсюда получаемn₁=2 и n₂=3.

Выражение n! означает, что перемножаются все натуральные числа подряд и наибольший из сомножителей равен n. Выражение n!! означает, что перемножаются натуральные числа через одно и наибольший сомножитель также равен n. Таким образом, если n чётное, то n!! есть произведение всех чётных чисел, не превышающих n (); если же n нечётное, то это произведение всех нечётных чисел, не превышающих n (). Аналогично, если после числа расположено три восклицательных знака, то перемножаются каждое третье число, а если четыре – каждое четвёртое. Например, .

Упражнения

3.1. Вычислить: а) , б).

Ответ: а) , б).

3.2. Упростить: а) , б)

Ответ: а) , б)m+2.

3.3. Найти все натуральные n, удовлетворяющие условию .

Ответ: 8.

3.4. В забеге участвуют 5 спортсменов. Сколькими способами могут распределиться места в результате забега?

Ответ: .

Содержание