Изоморфизмы
Определение.
Две группы G и G' с операциями и называются изоморфными, если существует отображение f : GG' такое, что:
а) f (a b)=f(a)f(b) для всех a,bG;
б) f – биективно. Обозначение изоморфных групп G G'.
Простейшие свойства изоморфизма:
а) Единица переходит в единицу.
б) f(а-1)=f--1(a).
в) Обратное отображение f—1 : G' G, существующее в силу свойства б), тоже является изоморфизмом.
В качестве изоморфного отображения f мультипликативной группы (R+,) положительных вещественных чисел на аддитивную группу (R, +) всех вещественных чисел служит f:=ln.
Известное свойство ln ab=ln a + ln b моделирует свойство а) в определении изоморфизма. Обратным к f служит отображение хех.
Рассмотрим две теоремы иллюстрирующие роль изоморфизма в теории групп.
Теореме 3.
Все циклические группы одного и того же порядка (в том числе и бесконечного изоморфны).
Доказательство.
Если - бесконечная циклическая группа, то все степениqn образующего q различны и мы получим изоморфизм f:(Z,+), полагая qnf (qn)=n. Биективность f очевидна, а свойство f (qmqn) = f (qn) + f (qm) вытекает из теоремы 1.
Пусть теперь G={e,q,q2,…,qq-1} и G'={e',q',(q')2,…,(q')q-1} две циклические группы порядка q. Операции в G и G' не различаем. Определим биективное отображение f: qk (q')k , k=0,1,…,q-1. Полагая m+ n = lq + r , 0 r q-1 для всех m,n=0,1,…, q-1.
f(qn+n) = f(qr) = (q') r = (q') m+n = (q') n (q') m = f(qn)f(qm).
Теорема 4. (Кэли)
Любая конечная группа порядка n изоморфна некоторой подгруппе симметрической группы Sn.
Положив, G'= G в определении изоморфизмами получим изоморфное отображение φ: G G группы G на себя. Оно называется автоморфизмом группы G.