10.1. Основные определения и примеры

При решении многих задач математики, физики и механики часто не удается установить непосредственную зависимость между искомыми и данными переменными величинами, но зато удается составить уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию и ее производные. Такое уравнение называется дифференциальным.

ПРИМЕР. Тело охладилось за 10 минут от 100С до 60С. Температура окружающего воздуха поддерживается постоянной и равной 10С. Определить через сколько минут температура тела станет равной 20С.

Как известно из физики, скорость охлаждения пропорциональна разности между температурой тела и температурой окружающей среды.

Обозначим – температуру тела в некоторый момент времени. Тогда скорость изменения температуры равна производной, и поэтому данный физический процесс описывается уравнением

, (10.1)

где – коэффициент пропорциональности, подлежащий определению. Это уравнение является дифференциальным. Искомая функция должна удовлетворять условиям задачи, а именно,

ПРИМЕР. Гибкая однородная нить подвешена за два конца. Найти уравнение кривой, по которой расположится нить под действием собственного веса (такую форму имеют подвешенные канаты, провода, цепи, поэтому уравнение этой кривой называется уравнением цепной линии).

Разложив вектор на вертикальную и горизонтальную составляющие, получим уравнения равновесия:

.

Пусть уравнение нити имеет вид , тогда.

Как известно (см. гл.8), , поэтому.

Таким образом, получено дифференциальное уравнение цепной линии:

. (10.2)

Это уравнение связывает первую и вторую производные неизвестной функции. Заметим, что искомое решение удовлетворяет условиям (рис.1).

Как показывают эти примеры, дифференциальное уравнение может содержать первую, вторую, а также производные более высоких порядков неизвестной функции.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Уравнение, которое связывает неизвестную функцию (или функции), ее производные и независимую переменную (или переменные), называется дифференциальным уравнением. Если неизвестная функция зависит от одной переменной, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным, если от нескольких – уравнением с частными производными.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Порядком дифференциального уравнения называется старший из порядков входящих в него производных.

ПРИМЕР. Уравнение (10.1) является обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка, (10.2) – обыкновенным дифференциальным уравнением второго порядка.

–уравнение с частными производными второго порядка.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Решением дифференциального уравнения называется функция, подстановка которой в уравнение обращает его в тождество. Если решение найдено в неявном виде, оно называется интегралом данного дифференциального уравнения. График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.

ПРИМЕР. – дифференциальное уравнение второго порядка. Легко проверить, что, например,является его решением. Также является решением.

Функция этому уравнению не удовлетворяет, значит, решением не является.

Перейдем к изучению дифференциальных уравнений первого порядка.