Теоретико-множественный смысл сложения, вычитания.

Сумма натуральных чисел а и b представляет собой число элементов в объединении конечных непересекающихся множеств А и В таких, что а= n(A) + n(B).

Взаимосвязь сложения целых неотрицательных чисел и объединения множеств позволяет истолковать с теоретико-множественных позиций известные свойства сложения. Так коммунитативность сложения связана с тем, что для любых множеств А и В выполняется равенство А принадлежит В = В принадлежит А.

Теоретико-множественный смысл разности. Разность натуральных чисел a и b представляет собой число элементов в дополнении множества В множества А, если а= n(A), b=n(B) и В принадлежит А: a – b = n(A) – n(B) = n( A\B), если В принадлежит А. Чтобы узнать, на сколько одно число меньше или больше другого, надо из большого числа вычесть меньшее.

Теорема пусть А – конечное множество и В – его собственное подмножество. Тогда множество А\В тоже конечно, причем выполняется равенство n(A\B) =n(A) – n(B). Доказательство: так как по условию В – собственное подмножество множество А, то с помощью кругов Эйлера их можно представить так, как на рисунке 112. Разность А\В на этом рисунке заштрихована. Видим, что множества В и А\В не пересекаются и их объединение равно А. Потому число элементов в множестве А можно найти по формуле n(A\B) = n(A) – n(B). (Рисунок из учебника 112).

9. Содержание

   • Операции над множествами. Свойства операций, их иллюстрации с помощью диаграмм Эйлера.
   • Декартово произведение множеств. Способы задания множеств и наглядности представления. Свойства декартово произведения.
   • Число элементов и объединения, разности, декартовом произведении множества.
   • Теоретико-множественный смысл сложения, вычитания.
   • Теоретико-множественный умножения и деления целых неотрицательных чисел.
   • Теоретико-множественный смысл арифметических операций в множестве z свойств.
   • Аксиоматический метод в математике. Требования к системе аксиом.
   • Система аксиом Пеано. Аксиоматические определение натурального числа.
   • Наименьший элемент
   • Умножение натуральных чисел в аксиоматической теории. Законы умножения.
   • Свойства множества натуральных чисел.
   • Вычитание и деление в аксиоматической теории. Основные свойства.
   • Множество целых неотрицательных чисел.
   • Деление с остатком.
   • Предмет и значение логики. Понятие. Объем и содержание понятия. Основные операции над понятиями.
   • Определение понятий. Виды определения понятий. Требования к правильному определению понятий.
   • Простые суждения. Структура простого высказывания. Классификация простых высказываний.
   • Состав простого суждения
   • Сложные высказывания. Логические операции : отрицание простых и сложных высказываний. Таблицы истинности.
   • Отношение логического следования и логической равносильности. Теорема. Структура теоремы и виды теорем.
   • Умозаключения. Общая характеристика и виды умозаключений.
   • Основные правила построения умозаключений . Проверка правильности умозаключений.
   • Индуктивные умозаключения и их виды. Умозаключения по аналогии.
   • Доказательство математических утверждений. Структура доказательства. Непрямое доказательство.
   • Доказательство утверждений методом математической индукции.