[Править]Необходимый признак сходимости ряда

Определение: Пусть задана бесконечная последовательность чисел (действительных или комплексных)

Числовым рядом называется выражение вида:

.

Сокращенно ряд обозначают следующим образом:  . При этом числа   называются членами ряда,   - общим членом ряда.

Необходимый признак сходимости ряда: Если ряд   сходиться, то общий член ряда   стремиться к нулю при , т.е.

.

Т.о. если  , то ряд   расходится. Признак Д’Аламбера

[править]

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

При́знак д’Аламбе́ра (или Признак Даламбера) — признак сходимости числовых рядов, установлен Жаном д’Аламбером в 1768 г.

Если для числового ряда

существует такое число  ,  , что начиная с некоторого номера выполняется неравенство

то данный ряд абсолютно сходится; если же, начиная с некоторого номера

то ряд расходится.

[править]Признак сходимости д’Аламбера в предельной форме

Если существует предел

то рассматриваемый ряд абсолютно сходится если  , а если   — расходится .

Замечание. Если  , то признак д′Аламбера не даёт ответа на вопрос о сходимости ряда.

4 Признак сравнения. Радикальный признак Коши

Признак сравнения

[править]

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Признак сравнения — утверждение об одновременности расходимости или сходимости двух рядов, основанный на сравнении членов этих рядов.

[править]Формулировка

 п·о·р 

Доказательство  [показать]

[править]Признак сравнения отношений

Также признак сравнения можно сформулировать в более удобной форме — в виде отношений.

[править]Формулировка

 п·о·р 

Доказательство  [показать]

[править]Предельный признак сравнения

Поскольку достоверно установить справедливость этого неравенства при любых n — довольно сложная задача, то на практике признак сравнения обычно используется в предельной форме.

[править]Формулировка

Радикальный признак Коши

[править]

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

У этого термина существуют и другие значения, см. Признак Коши.

Радикальный признак Коши — признак сходимости числового ряда:

Если для числового ряда с неотрицательными членами существует такое число  ,  , что, начиная с некоторого номера, выполняется неравенство  , то данный ряд сходится.

[править]Предельная форма

Условие радикального признака равносильно следующему:

То есть можно сформулировать радикальный признак сходимости знакоположительного ряда в предельной форме:

Если для ряда , то если   ряд сходится, если   ряд расходится, если   вопрос о сходимости ряда остается открытым.

[править]Доказательство

1. Пусть  . Очевидно, что существует такое  , что  . Поскольку существует предел  , то подставив в определение предела выбранное  получим:

Раскрыв модуль, получаем:

Поскольку  , то ряд   сходится. Следовательно, по признаку сравнения ряд   тоже сходится.

2. Пусть  . Очевидно, что существует такое  , что  . Поскольку существует предел  , то подставив в определение предела выбранное  получим:

Раскрыв модуль, получаем:

Поскольку  , то ряд   расходится. Следовательно, по признаку сравнения ряд   тоже расходится.

5 Знакочередующиеся ряды