[Править]Признаки сходимости

Для степенных рядов есть несколько теорем, описывающих условия и характер их сходимости.

• Первая теорема Абеля: Пусть ряд   сходится в точке  . Тогда этот ряд сходится абсолютно в круге   и равномерно по   на любом компактном подмножествеэтого круга.

Обращая эту теорему, получаем, что если степенной ряд расходится при  , он расходится при всех  , таких что  . Из первой теоремы Абеля также следует, что существует такой радиус круга   (возможно, нулевой или бесконечный), что при   ряд сходится абсолютно (и равномерно по   на компактных подмножествах круга  ), а при   — расходится. Это значение   называется радиусом сходимости ряда, а круг   — кругом сходимости.

• Формула Коши-Адамара: Значение радиуса сходимости степенного ряда может быть вычислено по формуле:

(По поводу определения верхнего предела   см. статью «Частичный предел последовательности».)

Пусть   и   — два степенных ряда с радиусами сходимости   и  . Тогда

Если у ряда   свободный член нулевой, тогда

Вопрос о сходимости ряда в точках границы   круга сходимости достаточно сложен и общего ответа здесь нет. Вот некоторые из теорем о сходимости ряда в граничных точках круга сходимости:

• Признак Д’Аламбера: Если при   и   выполнено неравенство

тогда степенной ряд   сходится во всех точках окружности   абсолютно и равномерно по  .

• Признак Дирихле: Если все коэффициенты степенного ряда   положительны и последовательность   монотонно сходится к нулю, тогда этот ряд сходится во всех точках окружности  , кроме, быть может, точки  .

• Вторая теорема Абеля: Пусть степенной ряд сходится в точке  . Тогда он сходится равномерно по   на отрезке, соединяющем точки 0 и  .

Сумма степенного ряда как функция комплексного параметра   является предметом изучения теории аналитических функций.