12 Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Определение и способ решения

Пусть   — некоторая функция,   — ее производная. Для удобства будем записывать производную виде  , имеющем смысл отношения бесконечно малых приращений — дифференциалов. Дифференциал   — приращение значения переменной в окрестности  , стремящееся к нулю. Дифференциал функции   — малое приращение функции,  . Пусть   и   — некоторые функции от   и  . Рассмотрим уравнение

.

Уравнение такого вида называется обыкновенным дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Умножим его на  :

.

Последнее равенство означает, что малые приращения левой и правой частей равны. Поэтому их суммы также равны. Предположим что при     и возьмем интегралы от левой и правой частей. Пределы интегрирования — от   до   для левой части и от   для   для правой части уравнения:

.

Решая получившееся в результате интегрирования алгебраическое уравнение, мы можем выразить  .

Значения   и   называются начальными условиями. В случае других начальных условий решение уравнения будет отличаться на постоянную. Поэтому, если начальные условия не даны, можно взять первообразные левой и правой частей и прибавить к ним константу. Используя неопределенный интеграл — обозначение множества первообразных —  , где   — первообразная  ,   — произвольная постоянная, запишем это в виде

.

Следует отметить, что у дифференциального уравнения с разделяющимися переменными могут существовать так называемые нулевые решения — постоянные  , удовлетворяющие уравнению  . При них равны нулю как правая, так и левая части дифференциального уравнения (поскольку производная константы равна нулю).

[править]Пример 1

Решить дифференциальное уравнение  .

Разделим переменные:

.

Т. к. начальные условия не заданы, возьмем неопределенный интеграл от обеих частей уравнения:

,

.

Осталось лишь выразить   через  :

.

Найдем также нулевые решения:

.

Ответ:  .