13 Однородное дифференциальное уравнение

Существует два понятия однородности дифференциальных уравнений.

[править]1

Обыкновенное уравнение первого порядка   называется однородным относительно x и y, если функция   является однородной степени 0:

.

Однородную функцию можно представить как функцию от  :

.

Используем подстановку  , а затем воспользуемся правилом произведения :  . Тогда, дифференциальное уравнение  сводится к уравнению с разделяющимися переменными:

.

[править]2

Дифференциальное уравнение является однородным, если оно не содержит свободного члена — слагаемого, не зависящего от неизвестной функции. Так, можно говорить, что уравнение   — однородно, если  .

В случае, если  , говорят о неоднородном дифференциальном уравнении.

Именно для решения линейных однородных диф. уравнений была построена целая теория, чему способствовало выполнение у них принципа суперпозиции.

[править]См. также

14 линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Обыкновенное дифференциальное уравнение вида

называется линейным дифференциальными уравнениями. Для его решения обычно используют метод вариации постоянной. Для этого сначала необходимо решить соответствующее однородное дифференциальное уравнение

которое является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными.Полученное общее решение   этого уравнения надо подставить в исходноеобыкновенное дифференциальное уравнение, неоднородное дифференциальное уравнение, считая, что   . Затем необходимо решить полученное обыкновенное дифференциальное уравнение относительно неизвестной функции   и подставить его решение в ранее полученную формулу   .

Чтобы решить уравнение Бернулли вида

необходимо сделать замену переменной   . После замены будет получено линейное дифференциальное уравнение.