5 Begin

6 u := произвольная вершина r  T, такая что D[r] = min(D[p]: p  T};

7 T := T \ {u};

8 for v  T do D [v] := min(D[v], D[u] + A [u, v])

9 end

10 end

Чтобы понять действие алгоритма, покажем, что следующее условие является инвариантом цикла 4:

для каждой v  V \ T D[v] = d(s, v),

для каждой v  T D[v] = длине кратчайшего из тех путей из s в v, для которых предпоследняя вершина принадлежит множеству V \ T. (4)

В самом деле, в строке 6 мы находим вершину u  T, такую что значение D[u]  является минимальным (из всех) значением D[t], для t  T.

Покажем, что D[u] = d(s, u). Это именно так, потому что если кратчайший путь из s в u имеет длину меньше D[u], то в силу второй части условия (4) его предпоследняя вершина принадлежит множеству T.

Пусть t будет первой вершиной пути, принадлежащей множеству T. Начальный отрезок пути из s в t составляет кратчайший путь из s в t, причем его предпоследняя вершина не принадлежит множеству T. По второй части условия (4) имеем D[t] = d(s, t). Используя предположение о неотрицательности весов, получаем

D[t] = d(s, t)  d(s, u) < D[u] 

вопреки принципу, по которому была выбрана вершина u.

Таким образом, D[u] = d(s, u) и мы можем в строке 7 удалить u из множества T , не нарушая первой части условия (4). Чтобы обеспечить выполнение также и второй части этого условия, следует еще проверить пути из из s в v  T, предпоследняя вершина в которых есть u, и выполнить актуализацию переменных D [v], v  T. Именно это выполняет цикл 8.

Очевидно, что условие (4) выполняется при входе в цикл 4. По окончании действия алгоритма T = , а следовательно, согласно условию (4), D[v] = d(s, v), v  V.

Оценим сложность алгоритма Дейкстры. Цикл 4 выполняется n – 1 раз, причем каждое его выполнение требует O(n) шагов: O(n) шагов для нахождения вершины u в строке 6 (предполагаем, что множество T представлено списком) и O(n) шагов для выполнения цикла 8. Таким образом, сложность алгоритма есть O(n²).

Тщательно подбирая структуры данных, можно получить вариант алгоритма со сложностью O(m log n). Для этого множество T нужно представить бинарным деревом с высотой O(log n) и с таким свойством, что для произвольных его вершин u и v :

если u — сын v, то D[u]  D[v] 

Вершина u, для которой значение D[u]  минимально, является тогда корнем дерева. Этот корень можно устранить за O(log n) шагов, сохраняя свойство уменьшения значения D[j] на каждом пути до корня. Достаточно сместить на место корня его сына s с большим (или равным) значением D[j], затем на освободившееся место передвинуть сына вершины s с большим значением D[j] и т.д. Если граф представлен списками ЗАПИСЬ[u], u  V, то строку 8 можно заменить на

for v  ЗАПИСЬ [u] do

if D[u] + A [u, v] < D[v] then

begin

D[v] :=  D[u] + A [u, v];

передвинуть вершину в дереве в направлении корня так, чтобы сохранить

условие если u — сын v, то D[u]  D[v] 

end

Если предположить существование таблицы указателей на вершины нашего дерева, то передвижение вершины v, о которой идет речь в данной части раздела, может быть осуществлено за O(log n) шагов. Достаточно заменять v поочередно вершинами, находящимися непосредственно над ней.

В алгоритме, модифицированном таким способом, каждая дуга графа анализируется в точности один раз, причем с этим связано O(log n) шагов на передвижение соответствующей вершины в дереве, представляющем множество T. Это дает в сумме O(m log n) шагов. Сюда нужно добавить O(n log n) шагов, необходимых для построения нашего дерева и для устранения n – 1 раз из него корня. Общая сложность алгоритма есть O(m log n).

Неизвестно, существует ли алгоритм сложности O(m) нахождения расстояния от фиксированной вершины до всех остальных вершин графа с неотрицательными весами дуг. Можно показать, что существует константа C, такая что эта задача для произвольного k > 0 может быть решена за время Ck(m + n^1+1/k).

Работа алгоритма Дейкстры проиллюстрирована на рисунке (V = {1, ..., 6}, веса дуг даны в скобках, значения D[v], v  T, приведены со звездочкой (*), минимальные значения — с двумя звездочками.

(7)

2 6

(5) 3 (1)

(2) (1) (1)

(1)

(4)

(3)

S = 1 (2) 4 5

** = min