Исследование алгебр многоместных функций

курсовая работа

1.1 История становления понятия функции

Функция является одним из основных понятий в математике и других науках. Ее значение в познании окружающего мира оценить довольно сложно.

Данное понятие прошло несколько периодов своего развития. С древнейших времен и до середины XVII века протекал пропедевтический период. Идея функциональной зависимости тянется с древнейших времен. Первые правила действий над числами, первые математические выражения соотношений между величинами отражают в себе ее содержание. 4-5 тыс. лет назад ученые из Вавилона установили, что площадь круга является функцией от его радиуса посредством нахождения грубо приближенной формулы: S=3r2. В качестве примера табличного задания функций, можно рассмотреть астрономические таблицы вавилонских, древнегреческих ученых. Примером словесного задания функций является теорема о постоянстве отношения площадей круга и квадрата на его диаметре, а также античные определения конических сечений. Стоит отметить, что сами кривые представляли собой геометрические образы соответствующей зависимости.

В XVII веке в математику стали проникать идеи переменных. Это ознаменовало переход к новому периоду развития, который можно назвать введение понятие функции при помощи механического и геометрического представления.

Французские ученые Франсуа Виет и Рене Декарт заложили путь к появлению понятия функции. Единая буквенная математическая символика была разработана данными учеными. Позднее она была признана по всему миру. В качестве единых обозначений неизвестных стали использоваться конечные буквы латинского алфавита, известных - первые буквы. Таким образом, в математике появилась идея изменения. Благодаря этому появилась возможность записывать общие формулы.

В геометрических работах Декарта и Ферма (1601-1665) появилось четкое представление переменной величины и прямоугольной системы координат. В 1637 году Рене Декарт в своей работе «Геометрия» дал понятие функции, как изменение ординаты точки в зависимости от изменения ее абсциссы. Постепенно понятие функции стало приравниваться с понятием аналитического выражения - формулы. Ньютон в 1671 году предложил следующее определение понятию функции: функция - величина, изменяющаяся с течением времени.

В работах ученых этого периода характер понятия функции можно описать как интуитивный. Оно было связано с геометрическим или механическим представлением: ординаты точек кривых - функция от абсцисс (x), путь и скорость - функция от времени (t) и т.д.

Третьим периодом можно считать промежуток между XVII - началом XIX вв. Его можно назвать периодом аналитического определения функции. Немецкий математик Лейбниц в своем письме к Гюйгенсу в 1673 году впервые использовал слово «функция» (лат. functio - совершение, выполнение). В его понимании функция представляла собой отрезок, длина которого меняется по какому-нибудь определенному закону. В печати данный термин был использован в 1694 году. Лейбниц также ввел понятия «переменная», «константа».

XVIII век ознаменован появлением нового взгляда на функцию. Теперь под данным понятием понималась формула, которая связывает одну переменную с другой. Это аналитическая точка зрения на понятие функции. Первым к ней обратился швейцарский математик Иоганн Бернулли (1667-1748). Он в 1718 году дал такое определение функции: «Функцией переменной величины называют количество, образованное каким угодно способ из этой переменной величины и постоянных».

В качестве обозначения произвольной функции от х ученый использовал знак j(x) и назвал его характеристикой функции. Лейбниц также использовал буквы x или e; x1, x2 вместо современных f1(x) , f2(x).

В 1748 году ученик Бернулли Эйлер в своей работе «Введение в анализ бесконечного» дал окончательную формулировку определения функции с аналитической точки зрения: «Функция переменного количества есть аналитическое выражение, составленное каким-либо образом из этого количества и чисел или постоянных количеств». Данное определение считалось актуальным в течение всего XVIII века многими математиками. Однако сам Эйлер в некоторых своих работах приводил иные определения данного понятия. Например, в 1755 году в работе «Дифференциальное исчисление» приводится следующее определение: «Когда некоторые количества зависят друг от друга таким образом, что при изменении последних и сами они подвергаются изменению, то первые называют функцией вторых».

Последующее обобщение понятия функции были обусловлены дальнейшим развитием естествознания и математики. Французский математик Жан Батист Жозеф Фурье (1768-1830) в Мемуарах по теории распространения тепла в твердом теле, которые были предоставлены в Парижскую АН в 1807-1811 гг., привел первые примеры функции, которые заданы на различных участках при помощи разнообразных аналитических выражений.

На определенном этапе развития физики и математики стало очевидным, что необходимо использовать и те функции, для определения которых крайне сложно или практически невозможно ограничиться только аналитическим аппаратом. Он начал тормозить необходимое математике и естествознанию расширение понятия функции.

Н.И. Лобачевский в работе «Об исчезании тригонометрических строк» в 1834 году, развивая эйлеровское определение функции, писал: «Общее понятие требует, чтобы функцией от x называть число, которое дается для каждого x и вместе с x постепенно изменяется. Значение функции может быть дано и аналитическим выражением, или условием, которое подает средство испытывать все числа и выбирать одно из них; или, наконец, зависимость может существовать, или оставаться неизвестной... Обширный взгляд теории допускает существование зависимости только в том смысле, чтобы числа, одни с другими в связи, принимать как бы данными вместе».

Данный период можно назвать периодом идеи соответствия. Хронологически он относится к XIX веку. Немецкий математик П.Л. Дирихле привел следующее определение функции: «y есть функция переменной x (на отрезке a Ј x Ј b), если каждому значению x на этом отрезке соответствует совершенно определенное значение y, причем безразлично, каким образом установлено это соответствие - аналитической формулой, графиком, таблицей либо даже просто словами». Примерно с середины века понятие функции стало свободно от границ аналитического выражения. Основной упор в основном общем определении понятия функции делается на идею соответствия.

После того, как была сформулирована теория множества в понятии функции, кроме идеи соответствия была включена и идея множества. Полностью определение понятия функции можно сформулировать следующим образом: если каждому элементу x множества А поставлен в соответствие некоторый определенный элемент y из множества В, то говорят, что на множестве А задана функция y = f(x), или что множество А отображено на множество В. В первом случае элементы x множества А называют значениями аргумента, а элементы их множества В - значениями функции; во втором случае x - прообразы, y - образы.

Общее определение функции может быть применено не только к математическим объектам, но и к другим, например, к геометрическим фигурам.

Последний период развития продолжается до сих пор с начала прошлого столетия. В самом начале XX века определение, данное Дирихле, подвергалось сомнению со стороны многих ученых.

Потребность последующего расширения понятия функции стала особо ощутимой после публикации в 1930 году книги «Основы квантовой механики» Поля Дирака, видного английского физика, одного из основателей квантовой механики. Он ввел так называемую дельта-функцию, которая выходила далеко за рамки классического определения функции. В связи с этим советский математик Н.М. Гюнтер и другие ученые опубликовали в 30-40 годах XX века работы, в которых неизвестными являются не функции точки, а «функции области», что лучше соответствует физической сущности явлений. Французский ученый Лоран Шварц ввел понятие обобщенной функции. Частный случай обобщенной функции был впервые рассмотрен советским математиком и механиком С.Л. Соболевым. Он применил созданную теорию к решению ряда задач математической физики. Значительный вклад в развитие теории обобщенной функции внесли ученики и последователи Шварца - И.М. Гельфант, Г.Е. Шилов и др.

Делись добром ;)