2.1 Упорядоченные алгебры многоместных функций

В последнее время К. Менгер предложил заняться изучением алгебраической теории суперпозиций функций от нескольких переменных, которые имеют ряд приложений в различных математических дисциплинах [1]. Оказалось, что любое множество функций от п переменных, где п -- фиксированное натуральное число, замкнутое относительно операции суперпозиции, образует алгебраическую структуру, в которой справедливо тождество типа ассоциативности. Эта алгебраическая структура была названа позднее алгеброй Менгера. Если же рассматривать множество функций от п переменных, где п принимает различные натуральные значения, замкнутое относительно операции суперпозиции, то получится алгебраическая структура, являющаяся обобщением алгебры Менгера. Подобные структуры, которые были названы системами Менгера, рассматривались в работах Уитлока, Хиона. Итак, становится ясно, что понятие алгебры Менгера является обобщением понятия полугруппы. Но, как было показано Б.М. Шайном, изучение всякой алгебры Менгера сводится к изучению полугруппы некоторого специального вида [5]. Казалось бы, нет никакой необходимости в изучении такого общего понятия, как алгебра Менгера. Но это совсем не так, ибо при рассмотрении некоторых вопросов, например, в теории представлений, изучение этих специальных полугрупп гораздо сложнее, чем непосредственное изучение алгебр Менгера. На множестве всех функций от п переменных можно естественным образом задать некоторые отношения. К ним относятся, в частности, теоретико-множественное отношение включения функций, включение их областей определения.

Пусть М -- некоторое множество, тогда под (n + 1)-операцией на М будем понимать отображение о декартовой (n + 1)-й степени множества М в М, т.е. о: Мⁿ⁺¹М. Результат применения (n + 1)-операции о к элементам х, у₁,..., у_n из М будем обозначать через х[у₁,,..., у_n]. Упорядоченную пару (М, о), где о -- некоторая (n + 1 ) - операция на М, будем называть алгеброй Менгера ранга п или просто алгеброй Менгера, если справедливо тождество сверхассоциативности:

x [y₁,…,y_n] [z₁,…,z_n] = x[y₁[z₁,…,z_n],…, v_n[z₁,…,z_n]] (17)

Будем говорить, что алгебра Менгера (M, о) содержит полный набор селекторов, если существуют элементы ех,..., е_nМ такие, что x[e₁,…,e_n] = x, ei[x1,..., х_n] = х, для каждого i = 1,..., л и любых x, x₁,…,x_n М. Алгебру Менгера, содержащую полный набор селекторов, будем называть простой алгеброй Менгера.

Пусть А -- некоторое множество. Частичное отображение г множества

Аⁿ в А будем называть п-местным преобразованием множества А. Множество всех n-местных преобразований множества А обозначим через ?(Aⁿ X А). Зададим на нем (п + 1)-операцию следующим образом:

г[ш₁,…ш_n](a₁,…,a_n) = г (ш₁(a₁,…,a_n),…, ш_n(a₁,…,a_n)), (18)

где г, ш₁,…,ш_n (Аⁿ X А), а₁,…,а_n A и левая часть равенства определена одновременно с правой.

Легко проверить, что (АⁿХA) является алгеброй Менгера. Пусть (М, о) -- алгебра Менгера. Гомоморфизм Р алгебры (М, о) в (АⁿХA)будем называть представлением (М, о) с помощью n-местных преобразований множества А. Если же Р -- изоморфизм, то P называется собственным представлением.

Предложение 1. Всякая алгебра Менгера (М, о) изоморфно вкладывается в некоторую простую алгебру Менгера (М*, о*) так, что М{e₁,..., е_n} является порождающим подмножеством последней, где e₁,..., е_n -- полный набор селекторов в (М*, о*).

Доказательство. Пусть (М, о) -- некоторая алгебра Менгера, X -- некоторое множество такое, что |X| = |М|. Пусть e_i X, i = 1,..., п, и X* = Х{ех,..., е_п}. Над алфавитом X* рассмотрим свободную простую алгебру Менгера F(X*) с селекторами e₁,…,e_n. Пусть ц-- взаимно однозначное отображение X на М. Рассмотрим определяющие соотношения вида x[y₁,…,y_n] = z, где х, y, zX и ц(x)[ц(y₁),…,ц(y_n)] = ц(z). Соответствующее отношение конгруэнтности обозначим через е. Фактор-алгебру F(X*)/е обозначим через (М*, о*). Легко видеть, что (М*, о*} удовлетворяет заключению предложения.

Алгебру (М*, о*), построенную в доказательстве предложения 1, будем называть простой алгеброй Менгера, получаемой из (М, о) присоединением полного набора селекторов. Пусть (М, о) -- алгебра Менгера, p MX М -- бинарное отношение. Будем говорить, что р l-регулярно, если

(x, y) p (x [z₁,…,z_n], y[z₁,…,z_n]) p, (19)

I - регулярно, i = 1,…, n, если

(x, y) p (z [ы|_i x], z[ы|_i y]) p (20)

где x, y, z M, ы = (u₁,…,u_n) M^u и (ы|_i x) есть сокращенная запись вектора (u₁,…, u_i-1, x, u_i+1,…, u_n); v-регулярно, если

(x₁, y₁),…, (x_n, y_n) p z [x₁,…,x_n], z [y ₁,…,y_n]) p. (21)

Далее, бинарное отношение p ? MXM назовем стабильным, если (x, y) (x₁, y₁),…, (x_n, y_n) p x [x₁,…,x_n], y [y ₁,…,y_n]) p, i-oтpицательным, где i {1, n}, если (х[y₁,…,y_n], y_i) р для любых x, v₁,..., у_n М, и v-отрицательным, если оно i-отрицательно для каждого i = 1,…, n. Заметим, что в случае, когда р есть отношение квазипорядка, то предложения „р v-регулярно" и „р i-регулярно для каждого i = 1,…n^u равносильны. Подмножество Н множества М называется i-идеалом (i = 1,…, n) если хНz|?|_i x]Н (6) для любых zM u ? Mn.

Рассмотрим теперь на (М, о) бинарные отношения д_i, i =1,…, п. которые определяются формулой (x, y) д_i () (? u M) (x=u[z|_i y] ? x=y). Можно проверить, что д_i l-регулярно для каждого i= l,…,n. Далее, если д_i ?p, то это эквивалентно тому, что р i-отрицательно.

Пусть теперь Р -- некоторое (собственное) представление алгебры Менгера (М, о). На множестве М зададим отношение (порядка) квазипорядка ж_p и отношение квазипорядка ч_р, называемые соответственно фундаментальным отношением (порядка) квазипорядка u проекционным отношением квазипорядка, которые определяются следующим образом:

(х, у) Р(х)?Р(у), (х, у) P(x)? P(y), (22)

где P(x)есть обозначение области определения Р(х). Алгебраические системы, изоморфные алгебрам (М, о, , ), (M, о, ), (М, о, ), будем называть соответственно фундаментально (упорядоченной) квазиупорядоченной проекционной алгеброй Менгера, фундаментально (упорядоченной) квазиупорядоченной алгеброй Менгера и (собственной) проекционно квазиупорядоченной алгеброй Менгера.

Пусть р ? А X А -- бинарное отношение, D, H -- подмножества множества А; тогда определим = рН X Н и D_H = DH. Пусть (М, о) -- алгебра Менгера, (М*, о*) -- простая алгебра Менгера, получающаяся из (М, о) присоединением полного набора селекторов. Определяющей парой алгебры Менгера (М, о) будем называть упорядоченную пару (е, W), где е---частичное отношение эквивалентности на (М*,о*) такое, что M U{e₁,…e_n}? е, W для каждого i=1,…, n, е _i(M) v регулярно в (М*. о*) (здесь е(М) - насыщение М по е) и g[е ,..., е ]?е для каждого gM, a W - подмножество множества М* такое, что если W Ш , то WM есть непустой i-идеал алгебры (М, о) для каждого i = 1,…,n , и W является е-классом, ибо в противном случае W= Ш. "С каждой определяющей парой (е, W) будем ассоциировать некоторое представление Р_(е,W) алгебры Менгера (М, о), к построению которого мы переходим.

Пусть (Н_а)_аА -- семейство классов эквивалентности по , отличных от W. Заметим, что семейство заиндексовано взаимно однозначно.

Пусть e₁, i = 1,…,n

A₀ = {a A| H_a M Ш}, ?? = {(b₁,…,b_n)}, B = Mⁿ{(e₁,…,e_n)}. (23)

Каждому gM поставим в соответствие n-местное преобразование P_{(е, W)} (g) множества А, определяемое формулой

A = P_{(е, W)} (g)(a₁,…,a_n) (a₁,…,a_n) ??^g[,…,]?H_a

Легко проверить, что Р_{(е, W)} действительно является гомоморфизмом и выполняются формулы

(g₁, g₂)(g₁ W g₁= g₂(е)) (24)

(g₁, g₂)(g₁ W g₂?W) (25)

где _{(е, W)} = , ч_{(е, W)} = ч_{p (е, W)}

Предложение 2. Пусть (М, о) -- алгебра Менгера, Р -- ее представление с помощью п-местных преобразований некоторого множества А. Тогда существует семейство определяющих пар ((е_i, W_i))i такое, что

_p = _{(еi, Wi)} и ч_p= ч_{(еi, Wi).}

Доказательство. Пусть (М*, о*) - простая алгебра Менгера, получающаяся из (М, о) присоединением полного набора селекторов. Пусть с?А; сопоставим каждому gM n-местное преобразование P*(g) множества А* = A{с} так: 1) если pr_1,…,n Р(g), то Р* (g)() = P(g)(); 2) если pr_1,…,n Р(g), то P*(g)() = c. Ясно, что Р* есть гомоморфизм (М, о), а отображение Р (g)Р* (g) есть изоморфизм Р(М) на Р*(М). Продолжим гомоморфизм Р* на (М*, о*) следующим образом: 1) P*(e₁) = pr₁, r = 1,…,n; 2) если Р*(х), P*.(y₁),..., Р*(у_n) определены, то пусть

P*(x[y₁,…,y_n]) = P* (x)[P*(y₁),…, P*(y_n)], x, y₁,…,y_n M* (26)

Совершенно очевидно, что Р* -- гомоморфизм (M*, о*). Для каждого аА^п рассмотрим следующее отношение эквивалентности: M* X М*, и подмножество M*: = {(x, y)| Р* (х) () = Р* (у) ()}, = {x|P* (x)( )+c}.

Непосредственной проверкой убеждаемся, что (,) является определяющей парой (М, о) и = , ч_p =

Необходимо сформулировать и доказать основную теорему.

Теорема. Для того чтобы алгебраическая система (M, o, , ч) была фундаментально упорядоченной проекционной алгеброй Менгера, необходимо и достаточно, чтобы о было сверхассоциативной (п + 1)-операцией, -- стабильным отношением порядка, а ч было l-регулярным v-отрицательным отношением квазипорядка, для которых выполняются условия:

^-1 ч = , (27)

a u [|_ib] z (28)

для каждого i =1,…, n, где ab(a, b) .

Через T₀ обозначим множество таких термов (т. е. полиномов) алгебры Менгера над некоторым бесконечным алфавитом X, что каждый терм t Т₀ не имеет своей части вида x[y₁,...,y_n][z₁,…, z_n] и каждая переменная в терме имеет единственное вхождение. Далее, пусть t Т₀, хХ -- переменная, входящая в терм t. Мы будем говорить, что переменная х есть исходная переменная для терма t, если за ней непосредственно не стоит левая квадратная скобка, в противном случае х называется неисходной переменной.