41. Двухэлементная булева алгебра. Алгебра булевых функций. Фактор-алгебра алгебры формул.

Опишем булеву алгебру β_n функцией алгебры логики от n переменных. В качестве носителя рассмотрим множество . Отношение ≤ на множестве B_n определим по следующему правилу: для любого набора значений X=(δ₁,…,δ_n). Пересечением называется такая функция h , что h(X)=min{f(X),g(X)} на любом наборе X=(δ₁,…,δ_n). Объединением называется такая функция h, чтоh=max{f(X),g(X)} на любом наборе X. Дополнение функции f определяется следующим образом: . В качестве 0 рассмотрим функцию, являющуюся константой 0, а в качестве 1 возьмем константу 1. Система образует булеву алгебру функций от n переменных (алгебру булевых функций).

Рассмотрим множество B₀={0,1} и определим на нем операции согласно таблицам истинности. Тогда система является двухэлементной булевой алгеброй. Формулы алгебры логики, содержащие лишь логические операции являются термами в β₀. По теореме о функциональной полноте в булевой алгебре с помощью терма можно задать любую булеву функцию.

Обозначим через Ф_n множество всех формул алгебры логики с переменными из множества {x₁,…,x_n}. На множестве Ф_n определены двухместные операции конъюнкции и дизъюнкции и одноместная операция отрицания. Выделим на множестве Ф_n две константы и . Получается алгебра формул . Отношение ≈ эквивалентности формул является конгруенцией на алгебре множестве Ф_n/≈ операции определяются следующим образом: , , . На множестве Ф_n/≈ выделяются две константы: и . Полученная система является фактор-алгеброй F_n/≈.

Теорема: Фактор-алгебра F_n/≈ изоморфна алгебре булевых функций β_n.

Доказательство: Искомый изоморфизм определяется по следующему правилу: классу эквивалентности ≈(φ) сопоставляется функция f_φ, имеющая таблицу истинности произвольной формулы из множества ≈(φ). Поскольку разным классам эквивалентности соответствуют различные таблицы истинности, отображение ξ инъективно, а так как для любой булевой функции f из B_n найдется формула , представляющая функцию f, то отображение ξ сюръективно. Сохранение операций при отображении ξ проверяется непосредственно.