Нильпотентные группы

Определение. Конечная группа называется нильпотентной, если всякая силовская p-подгруппа группы нормальна в .

Определение. Конечная группа называется нильпотентной, если является прямым произведением своих силовских p-подгрупп.

Пример:

1. Конечная p-группа является нильпотентной. Действительно, в этом случае совпадает с , и значит является прямым произведением своих силовских подгрупп.

2. Любая конечная абелева группа нильпотентна. Действительно, любая подгруппа абелевой группы нормальна. Поэтому каждая абелева группа нильпотентна.

3. В 3 силовская 2-подгруппа ненормальна, поэтому 3 - ненильпотентна.

4. Группа порядка 15 является нильпотентной.

- класс всех конечных нильпотентных групп.

Простейшие свойства конечных нильпотентных групп

Лемма 1. Подгруппа нильпотентной группы нильпотентна.

Доказательство:

Пусть Покажем, что .

Пусть - силовская p-подгруппа группы А. Покажем, что .

Т.к. , то - силовская p-подгруппа в . Т.к. , то . Тогда

Покажем, что

Т.к. в любой группе силовские p-подгруппы сопряжены между собой, то в нильпотентной группе силовская p-подгруппа единственна.

Т.к. - p-подгруппа группы G, то , Тогда .

одгруппа в , т.е. , т.е. .

Т.о., и .

ч.т.д.

Лемма 2. Факторгруппа нильпотентной группы нильпотентна.

Доказательство:

Пусть . Покажем, что.

Пусть силовская p-подгруппа группы . Тогда силовская p-подгруппа .

Т.к. , то . Т.о., .

ч.т.д.

Лемма 3. Прямое произведение нильпотентных групп является нильпотентной группой.

Доказательство:

Пусть , ,

Пусть - силовская p-подгруппа в , - силовская p-подгруппа в . Покажем, что нильпотентна.

Пусть . Т.к. По свойству прямого произведения

.

Аналогично, , и .

, а

- силовская -подгруппа в .

ч.т.д.

Лемма 4. Если и , то .

Доказательство:

По теореме Ремака изоморфно подпрямому произведению групп , т.е. , где . Но по лемме 3 . Тогда по лемме 1 и .

ч.т.д.

Утверждение 1. Если , то .

Утверждение 2. .

Лемма 5. Если , то .

Доказательство:

Т.к. , то

ч.т.д.

Утверждение 3.

Лемма 6. Если , , то .

Доказательство:

Допустим, что лемма неверна и пусть - контрпример минимального порядка. Возможны два случая:

1. Пусть . Т.к. , то .

.

2. Пусть .

ч.т.д.

Признаки нильпотентных групп

Утверждение 4. Если и , то .

Теорема 1 (Виланд). всякая максимальная подгруппа группы нормальна в ней.

Доказательство:

1. Необходимость.

Пусть и . Тогда и по лемме 6

Т.к. , то и .

2. Достаточность.

Пусть и .

Пусть - силовская p-подгруппа из . Допустим, что . Тогда По утверждению 4, , т.е. . Получили противоречие. Поэтому т.е. . Т.о., .

ч.т.д.

Теорема 2. .

Доказательство:

1. Необходимость следует из леммы 2.

2. Достаточность.

Пусть , - силовская p-подгруппа в . Тогда - силовская p-подгруппа в .

Т.к., то и по теореме о соответствии .

Т.к. - силовская p-подгруппа в , то по лемме Фраттини получим , т.е. .

Т.о., .

ч.т.д.

Теорема 3 (Фраттини). Подгруппа Фраттини конечной группы нильпотентна.

Доказательство:

Пусть - силовская p-подгруппа группы .

Т.к., то по лемме Фраттини , т.е. . Тогда и .

ч.т.д.