Нильпотентные группы
Нильпотентные группы
Определение. Конечная группа называется нильпотентной, если всякая силовская p-подгруппа группы нормальна в .
Определение. Конечная группа называется нильпотентной, если является прямым произведением своих силовских p-подгрупп.
Пример:
1. Конечная p-группа является нильпотентной. Действительно, в этом случае совпадает с , и значит является прямым произведением своих силовских подгрупп.
2. Любая конечная абелева группа нильпотентна. Действительно, любая подгруппа абелевой группы нормальна. Поэтому каждая абелева группа нильпотентна.
3. В 3 силовская 2-подгруппа ненормальна, поэтому 3 - ненильпотентна.
4. Группа порядка 15 является нильпотентной.
- класс всех конечных нильпотентных групп.
Простейшие свойства конечных нильпотентных групп
Лемма 1. Подгруппа нильпотентной группы нильпотентна.
Доказательство:
Пусть Покажем, что .
Пусть - силовская p-подгруппа группы А. Покажем, что .
Т.к. , то - силовская p-подгруппа в . Т.к. , то . Тогда
Покажем, что
Т.к. в любой группе силовские p-подгруппы сопряжены между собой, то в нильпотентной группе силовская p-подгруппа единственна.
Т.к. - p-подгруппа группы G, то , Тогда .
одгруппа в , т.е. , т.е. .
Т.о., и .
ч.т.д.
Лемма 2. Факторгруппа нильпотентной группы нильпотентна.
Доказательство:
Пусть . Покажем, что.
Пусть силовская p-подгруппа группы . Тогда силовская p-подгруппа .
Т.к. , то . Т.о., .
ч.т.д.
Лемма 3. Прямое произведение нильпотентных групп является нильпотентной группой.
Доказательство:
Пусть , ,
Пусть - силовская p-подгруппа в , - силовская p-подгруппа в . Покажем, что нильпотентна.
Пусть . Т.к. По свойству прямого произведения
.
Аналогично, , и .
, а
- силовская -подгруппа в .
ч.т.д.
Лемма 4. Если и , то .
Доказательство:
По теореме Ремака изоморфно подпрямому произведению групп , т.е. , где . Но по лемме 3 . Тогда по лемме 1 и .
ч.т.д.
Утверждение 1. Если , то .
Утверждение 2. .
Лемма 5. Если , то .
Доказательство:
Т.к. , то
ч.т.д.
Утверждение 3.
Лемма 6. Если , , то .
Доказательство:
Допустим, что лемма неверна и пусть - контрпример минимального порядка. Возможны два случая:
1. Пусть . Т.к. , то .
.
2. Пусть .
ч.т.д.
Признаки нильпотентных групп
Утверждение 4. Если и , то .
Теорема 1 (Виланд). всякая максимальная подгруппа группы нормальна в ней.
Доказательство:
1. Необходимость.
Пусть и . Тогда и по лемме 6
Т.к. , то и .
2. Достаточность.
Пусть и .
Пусть - силовская p-подгруппа из . Допустим, что . Тогда По утверждению 4, , т.е. . Получили противоречие. Поэтому т.е. . Т.о., .
ч.т.д.
Теорема 2. .
Доказательство:
1. Необходимость следует из леммы 2.
2. Достаточность.
Пусть , - силовская p-подгруппа в . Тогда - силовская p-подгруппа в .
Т.к., то и по теореме о соответствии .
Т.к. - силовская p-подгруппа в , то по лемме Фраттини получим , т.е. .
Т.о., .
ч.т.д.
Теорема 3 (Фраттини). Подгруппа Фраттини конечной группы нильпотентна.
Доказательство:
Пусть - силовская p-подгруппа группы .
Т.к., то по лемме Фраттини , т.е. . Тогда и .
ч.т.д.