7. Нильпотентный оператор.

Определение 7.1 Л.о. называетсянильпотентным, если существует такое , что.

Наименьшее число , обладающее этим свойством, называетсяиндексом нильпотентности (высотой оператора ).

.

Аналогично определяется нильпотентная матрица и ее индекс.

Примеры. 1) - нильпотентный оператор индекса.

2) - нильпотентная матрица индекса.

Теорема 7.1 Если - нильпотентный оператор индексаи- вектор, для которого, то векторы- линейно независимы.

∎ Рассмотрим .

Применим последовательно операторы :

⟹ ⟹. ∎

Следствие 1. Индекс нильпотентности не превосходит размерности пространства.

Теорема 7.2 В комплексном пространстве линейный оператор нильпотентен ⟺ когда все его собственные значения равны нулю.

∎ «⟹» – нильпотентный индекса,- собственное значение, отвечающее собственному вектору:, т.к.(собственный вектор).

«⟸» Рассмотрим базис пространства, в котором оператор имеет верхнюю треугольную матрицу (См. замечание к Т6.2), главная диагональ которой состоит из нулей:

.∎

Замечание. Необходимость утверждения имеет место и в вещественном пространстве.

Определение 7.2 Если - прямая сумма подпространств, инвариантных относительно, то операторназываетсяпрямой суммой индуцированных операторов .

Теорема 7.3 Вырожденный и не нильпотентный л.о. является прямой суммой нильпотентного и обратимого оператора, причем это разложение единственно.

∎ Надо доказать, что существует единственная пара и:- нильпотентный оператор,- обратимый оператор.

Доказательство существования. . Обозначим.

1. Покажем, что строго вложены друг в друга до некоторого момента, начиная с которого всесовпадают:

а) т.к..

б) Пусть , тогда: а)⟹ , т.е..

Из а) и б) следует, что либо истрого вложены друг в друга, либо совпадают со всеми последующими ядрами. Т.к. в конечномерном пространстве размерностьне может возрастать бесконечно⟹ наступит момент , когда они начнут совпадать.

2. Зафиксируем этот момент , покажем, что.

Пусть (теорема о ранге и дефекте).

3. Подпространства - инвариантны относительно:

а) .

б) , где.

4. Оператор - нильпотентный оператор индекса, т.к.

а) ;

б) , т.к..

5. – обратим (ядро состоит из нулевого вектора)

Пусть ⟹ (т.к.).

.

Следовательно, ().

Единственность. Пусть существует другое разложение: .

1. – нильпотентныйпри некотором. Следовательно,.

2. – обратим⟹=T ⟹.

Но .∎

Следствие 2. Оператор на подпространствеимеет только нулевые собственные значения, а нане имеет нулевых собственных значений.

Следствие 3. Для оператора , действующего в комплексном пространстве с характеристическим многочленом

а) характеристические многочлены

–оператора ;

–оператора .

б) (размерность пространства совпадает со степенью характеристического многочлена).