Билет 25. Сдвиг оператора, нильпотентность и обратимость его суждений.
Линейный оператор называется нильпотентным, если существует его степень, равная нулевой матрице. Наименьшая такая степень называется индексом нильпотентности (высотой) линейного оператора.
Т Если A – нильпотентный оператор степени (1) и (2) – вектор, который оператор предпоследней степени не переводит в 0, то векторы x0, Ax0,…, (A^(q-1))x0- линейно независимы (приравняем линейную комбинацию к нулю и последовательно будем применять операторы в нужной степени, показывая равенство 0 коэффициентов).
Следствие 1: индекс нильпотентности не превосходит размерности пр-ва.
Т В комплексном пр-ве линейный оператор нильпотентен тогда и только тогда, когда все его собственные значения равны 0 (необходимрость A^qx0 = (l0^q)x, достаточность – проверить умножение матриц).
Если все пространство – прямая сумма подпространств, инвариантных относительно A, то оператор называется прямой суммой индуцированных операторов.
Рассмотрим оператор B= A – liI, выполним сдвиг на li оператора A.
lb = la – li
f(l) = (l1 – l)^m1…(lp – l)^mp- многочлен A, f’(l) = (l1 – lj – l)^m1 * …(lp – lj – l)^mp
Подпространство инвариантное относительно B, инвариантно относительно A
- Билет 2. Изоморфизм линейных пространств.
- Билет 3. Сумма и пересечение линейных подпространств.
- Билет 4. Прямая сумма подпространств.
- Билет 5. Евклидово и унитарное пространство. Неравенство Коши-Буняковского-Шварца.
- Билет 6. Скалярное произведение в ортонормированном базисе. Существование ортонормированного базиса.
- Билет 9. Ортогональное дополнение. Ортогональная сумма подпространств. Расстояние от вектора до пространства.
- Билет 13. Линейные операторы. Матрица линейного оператора.
- Билет 14. Матрица линейного оператора при переходе к другому базису. Эквивалентность и подобие матриц.
- Билет 20. Собственные значения и собственные векторы. Операторы простой структуры и диагонализуемые матрицы.
- Билет 21. Характеристический многочлен линейного оператора. Условие существования собственных значений.
- Билет 22. Собственное подпространство. Геометрическая и алгебраическая кратности собственных значений.
- Билет 23. Инвариантные подпространства. Сужение оператора.
- Билет 24. Треугольная форма матрицы линейного оператора. Теорема Шура.
- Билет 25. Сдвиг оператора, нильпотентность и обратимость его суждений.
- Билет 26. Корневые подпространства. Расщепление линейного пространства в прямую сумму корневых подпространств.
- Билет 27. Жорданов базис и жорданова матрица линейного оператора в комплексном пространстве.
- Билет 30. Инвариантные подпространства минимальной размерности.
- Билет 31. Вещественный аналог жордановой формы.
- Билет 32. Сопряженный оператор. Существование и единственность. Матрица сопряженного оператора.
- Билет 33. Нормальный оператор и нормальная матрица.
- Билет 34. Блочно-диагональная форма вещественной нормальной матрицы.
- Билет 35. Эрмитовы операторы и эрмитовы матрицы. Эрмитого разложение линейного оператора.
- Билет 38. Блочно-диагональная форма ортогональной матрицы.
- Билет 39. Знакоопределенные операторы и матрицыю Квадратный корень из оператора.
- Билет 40. Сингулярные числа и сингулярные векторы. Полярное разложение оператора (матрицы).