logo
Пак - Линейные операторы

Упражнения

  1. Найдите матрицы линейных операторов +ив базисе b1,b2, если матрицав базисеа1=(-3; 7),а2= (1; -2) имеет вид, а матрицав базисеb1= (6; -7),b2= (-5; 6) имеет матрицу.

  2. Докажите, что линейное пространство всех линейных операторов, действующих в одномерном линейном пространстве, одномерно.

  3. Линейное пространство всех функционалов, действующих в линейном пространствеХ/K,т.е. линейно отображающихX в K, называетсясопряженным с пространствомХ. Докажите, что сопряженное линейное пространствоизоморфно линейному пространствуХ.

  4. Говорят, что ненулевой многочлен f(t) = аннулирует оператор А,еслиf(А) = . Докажите, что для любого линейного оператора, действующего вn-мерном линейном пространстве, существует аннулирующий многочлен степени.

  5. Пусть m(t) – многочлен наименьшей степени среди всех многочленов, аннулирующих линейный оператор A. Докажите, что m(t) делит любой другой многочлен, аннулирующий линейный оператор A.

  6. Докажите, что многочлен m(t) определен линейным операторомАединственным образом с точностью до умножения на постоянный ненулевой множитель. Многочленm(t) со старшим коэффициентом 1 называетсяминимальным многочленомлинейного оператораА.

  7. Линейный оператор Аназываетсянильпотентным, если существует натуральное число q, для которого Aq =. Наименьшее число q, для которого Aq =, называетсяиндексом нильпотентности линейного оператора А. Докажите, что индекс любого нильпотентного линейного оператора, действующего вn-мерном линейном пространстве, не превосходитn.

  8. Найдите минимальный многочлен для оператора проектирования, для оператора отражения, для нильпотентного оператора индекса q.

  9. Докажите, что любые два многочлена от одного линейного оператора перестановочны.

  10. Докажите, что если линейные операторы А иВ перестановочны, то и любые многочленыf(A) и g(A)от этих операторов перестановочны.

  11. Докажите, что произведение линейных операторов А иВ тогда и только тогда невырождено, когда каждый из операторовА иВ невырожден. При этом.

  12. Докажите, что для невырожденного линейного оператора А и любой константы

.

  1. Докажите, что невырожденные линейные операторы, действующие в линейном пространстве Х/K, являются автоморфизмами, т.е. изоморфизмамиХ на себя.

  2. Докажите, что невырожденные линейные операторы, действующие в линейном пространстве Х/K, образуют мультипликативную группу.