1. Векторные линии

Векторной линией поля А называется линия (L), в каждой точке которой вектор А, отвечающий этой точке, касается (L); другими словами, это -- линия, идущая в каждой своей точке вдоль поля.

В зависимости от физического смысла поля векторная линия может называться линией тока для поля скоростей, силовой линией для силового поля и т. д. (Подумайте, почему линии тока совпадают с траекториями частиц жидкости только для стационарных потоков.)

Задача о построении векторных линий заданного векторного поля геометрически равносильна задаче о построении интегральных линий для заданного поля направлений (п. XV. 12) Поэтому эта задача сводится к интегрированию системы дифференциальных уравнений; для этого надо ввести в пространство какую-либо систему координат.

Если, например, ввести декартовы координаты х, у, z, то вектор А можно разложить:

А = А (х, у, г) = Ах(х, у, z)i-+-Ay(x, у, г)} + Аг(х, у, г) к. (55)

На основании п. XV. 12 систему дифференциальных уравнений векторных линий поля А можно записать в симметричной форме (ср. ураннения (XV.66)). Для плоских полей (п. IX.9) эта система превращается в уравнение

dx _ dy Ах(х, у)~ A v{x, у)

В исчислении вектор, векторное поле назначение вектор в каждой точке подмножество евклидова пространства . Векторного поля в плоскости, например, можно изобразить в виде стрелки, с заданной величиной и направлением, прилагаемый к каждой точке на плоскости. Векторные поля часто используются для моделирования, например, скорость и направление перемещения жидкости во всем пространстве, или сила и направление некоторых сил, таких как магнитные и гравитационные силы, как она меняется от точки к точке.

Элементы дифференциального и интегрального исчисления распространяются на векторные поля естественным образом. Если векторное поле представляет силу, линейный интеграл от векторного поля представляет работу силы движется по пути, и под эту интерпретацию сохранения энергии проявляется как частный случай основной теоремы исчисления . Векторные поля может полезно рассматривать как представляющий скорость движущегося потока в пространстве, и эта физическая интуиция приводит к понятия, такие как дивергенция (который представляет собой скорость изменения объема потока) и завиток (который представляет вращение потока).

В координатах векторное поле на область в п-мерном евклидовом пространстве можно представить в виде вектор-функция , которая связывает п-ки действительных чисел в каждой точке области. Такое представление векторного поля зависит от системы координат, и нет четко определенных законом преобразования при переходе от одной системы координат к другой. Векторные поля часто обсуждаются на открытых подмножеств евклидова пространства, но и смысл от других подмножеств, таких как поверхности, где они ассоциируют стрелка касательной к поверхности в каждой точке (касательный вектор).

В целом, векторных полей, определенных на дифференцируемых многообразиях, которые являются пространствами, которые выглядят как евклидова пространства на малых масштабах, но может иметь более сложную структуру, на больших масштабах. В этих условиях векторное поле дает касательный вектор в каждой точке многообразия (то есть раздел о касательное расслоение к многообразию). Векторного поля один вид тензорного поля.