Поверхности вращения

Поверхности вращения - это поверхности, созданные при вращении образующей m вокруг оси i.

Геометрическая часть определителя состоит из двух линий: образующей m и оси i.

Рис. 2 Образующая и ось

На рис.3 показано, как создается каркас поверхности, состоящей из множества окружностей, плоскости которых расположены перпендикулярно оси  i. Эти окружности называются параллелями; наименьшая параллель называется горлом, наибольшая - экватором.

Из закона образования поверхности вращения вытекают два основных свойства:

1. Плоскость перпендикулярная оси вращения, пересекает поверхность по окружности - параллели.

2. Плоскость, проходящая через ось вращения, пересекает поверхность по двум симметричным относительно оси линиям - меридианам.

Плоскость, проходящая через ось параллельно фронтальной плоскости проекций, называется плоскостью главного меридиана, а линия, полученная в сечении, - главным меридианом.

Рис.3 Поверхность вращения Рис.4 Построение очерка

Если ось i поверхности вращения расположена параллельно одной из плоскостей проекций, но не перпендикулярна другой, то очерком поверхности на первой плоскости является главный меридиан, а очерк поверхности на второй плоскости требует специального построения (рис.4):

На оси i поверхности размечают ряд точек

Каждую из них принимают за центр сферы, касающейся поверхности вращения по окружности

Отмечают точки, в которых эти окружности пересекаются с экваторами сфер

Наиболее распространенные поверхности вращения с криволинейными образующими:

Сфера - образуется вращением окружности вокруг её диаметра (рис.5).

При сжатии или растяжении сферы она преобразуется в эллипсоиды, которые могут быть получены вращением эллипса вокруг одной из осей: если вращение вокруг большой оси то эллипсоид называется вытянутым (рис.7), если вокруг малой - сжатым или сфероидом(рис.6).

Рис.5 Сфера Рис.6 Сфероид Рис.7 Эллипсоид

Параметрическое уравнение сферы:

x = a + Rcosucosv

y = b + Rcosusinv

z = с + Rsinu

a,b,c - координаты центра сферы, R - радиус сферы, u - угловой параметр, фиксирующий точку на меридиане (-90<=u<=90), v - угловой параметр, фиксирующий положение меридиана (0<=v<=360)

Тор - поверхность тора формируется  при вращении окружности вокруг оси, не проходящей через центр окружности (рис.8).

Рис.8 Тор

Параболоид вращения - образуется при вращении параболы вокруг своей оси (рис.9).

Рис.9 Параболоид

Параболоидом вращения становится поверхность параболических зеркал, применяемых в прожекторах и фарах автомобилей.

Гиперболоид вращения - различают одно (рис.10) и двух (рис.11) полостной гиперболоиды вращения. Первый получается при вращении вокруг мнимой оси, а второй - вращением гиперболы вокруг действительной оси.

Рис.10 Однополостный гиперболоид Рис.11 Двухполостный

Поверхность однополостного гиперболоида может быть образована и вращением прямой линии.