1. Основные теоремы и понятия дифференциального исчисления

Определение.

Производная функции в данной точке x определяется равенством

Если этот предел конечный, то функция называется дифференцируемой в точке х; при этом она обязательно непрерывна в этой точке. Если же рассматриваемый предел равен ? или -? , то при условии, что функция в точке х_o непрерывна, будем говорить, что функция имеет в точке х_o бесконечную производную.

Теорема Ферма. Пусть функция определена на некотором промежутке и во внутренней точке этого промежутка имеет наибольшее или наименьшее значение. Если в точке существует производная , то .

Теорема Ролля. Если функция непрерывна на отрезке [a,b], имеет конечную производную в каждой внутренней точке этого отрезка и , то существует такая точка , что .

Теорема Лагранжа. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и имеет конечную производную в каждой внутренней точке этого отрезка, то существует такая точка , что

.

Признак постоянства функции. Если функция непрерывна на отрезке [a,b], дифференцируема в интервале и производная в интервале , то на отрезке [a,b].

Признаки монотонности функции. Пусть на отрезке [a,b] определена непрерывная функция f(x), имеющая внутри отрезка производную. Тогда:

1) Для того чтобы была неубывающей (невозрастающей) на [a,b], необходимо и достаточно, чтобы из Для того чтобы была возрастающей (убывающей) на [a,b], достаточно выполнения условия всех .

дифференциальный производный уравнение неравенство