2.1 Аксиоматический метод в курсе геометрии основной школы

Усвоение учащимися систематического курса планиметрии всегда вызывало, вызывает и будет вызывать наибольшие трудности при обучении математике. Это связано, прежде всего, с тем, что геометрия - единственная школьная дисциплина, которая строится на дедуктивно-аксиоматической основе и поэтому предъявляет повышенные требования к уровню развития логического мышления.

Как известно, аксиоматический метод, лежащий в основе дедуктивно-аксиоматического изложения геометрии, подчинен следующим требованиям:

1) выделяется некоторое число основных (неопределяемых) понятий;

2) свойства их описываются с помощью некоторого числа утверждений-аксиом;

3) все остальные понятия вводятся с помощью строгих определений через основные неопределяемые или ранее введенные;

4) все остальные утверждения строго (с помощью дедуктивных рассуждений) доказываются в виде теорем.

Вопрос об отражении аксиоматического метода в школе, о логической строгости в обучении математике является предметом дискуссии, которая наиболее остра именно в области обучения геометрии, где можно выделить три наиболее распространенные точки зрения:

- сделать систематический курс аксиоматическим, четко отделив его от пропедевтического, характеризуемого широким использованием опыта и основанной на нем интуиции;

- ни на каком этапе обучения не отделять логику от интуиции, а правильно сочетать их по-разному на разных ступенях обучения.

– построить в аксиоматическом стиле лишь небольшой фрагмент теории в старших классах, чтобы на этом материале знакомить учащихся с современным аксиоматическим методом, а весь курс строить, не отделяя логику от интуиции.

Покажем, что в школе практически нельзя реализовать первую точку зрения.

Проблему аксиоматического метода в обучении математике можно расчленить на две:

1. Аксиоматический метод как способ построения школьного курса на отдельных этапах обучения

2. Аксиоматический метод - как предмет изучения на конкретном и подходящем материале.

Проблема первая.

Дети лучше всего обучаются на собственном опыте. Учитель может подвести детей к созданию математических моделей конкретных ситуаций, а затем изучать структуры моделей. Этим создается база для последующей аксиоматической систематизации. Однако весь курс или раздел не может быть построен как абстрактная формальная система вне всякой содержательной интерпретации.

В современном аксиоматическом методе можно выделить две стороны: 1-я - абстрагирование теории от конкретных моделей (содержательная аксиоматика); 2-я - дедуктивное построение теории вне всякой интерпретации на базе системы аксиом.

В школе освещается только содержательная аксиоматика. Поясним сказанное.

o Аксиомы и выводимые из них теоремы рассматриваются как имеющие реальный смысл высказывания об объектах теории, а сам логический вывод предполагается интуитивно понятным.

o Задача аксиоматизации сводится к дедукции всех предложений теории из исходных аксиом.

Таким образом, современный аксиоматический метод как абстрактная формальная система не может служить способом построения школьного курса.

Тогда под применением аксиоматического метода будем понимать дедуктивное развитие теории, но не в абстрактной форме, а в виде определенной модели, отражая лишь одну сторону аксиоматического метода - логическую организацию материала.

Итак, в школьном обучении неизбежно сочетание интуитивных и логических элементов. О строгом аксиоматическом курсе речь не может идти.

Проблема вторая.

Нужно ли изучать аксиоматический метод?

Так как данный метод широко применяется в математике, то желательно ознакомить с ним учащихся. Понимание сути метода влияет на развитие мышления школьников. Но на каком этапе, материале, уровне следует вести обучение? Условия для успешного обучения следующие:

- у учащихся должно быть наличие математических и логических знаний, которыми они могут овладеть лишь в 14-15 лет. Но подготовка к восприятию материала - правила вывода, примеры дедукции - должны реализовываться значительно ранее.

- ознакомление возможно на достаточно простых примерах. Геометрия мало подходит для этого. Ее аксиоматика громоздкая, а другие примеры, отличные от классической модели, трудно привести учащимся.

Вывод: аксиоматический метод в геометрии может являться предметом изучения лишь в профильных математических классах. Если же речь идет об основной школе, о нем говорится лишь в ознакомительном плане либо в процессе реализации одной из форм предпрофильного обучения, либо в дополнительном математическом образовании.

Поэтому в 7-ом классе, когда вводятся начальные геометрические сведения, изложение материала практически во всех современных учебниках не ведется аксиоматически. Дается лишь представление об аксиоматическом изложении: роль доказательств постепенно усиливается, определения становятся корректней, однако, число утверждений, принимаемых без доказательств, и понятий, которым не дается строгого определения, остается довольно большим.

Дадим краткую характеристику аксиоматики в наиболее распространенных учебниках геометрии для основной школы [2; 16, 21].

Учебник Л.С. Атанасяна и др.

Основные неопределяемые понятия и отношения - “точка”, “прямая”, “наложение, “лежать между”.

Такие понятия и отношения, как “множество”, “число”, “принадлежать” и т.д., как считают авторы, принадлежат не только к геометрии, но и к другим разделам математики, - считаются известными, не относятся к числу основных понятий планиметрии.

В учебнике явно (но неполно) и доступно введено понятие об аксиоматическом построении курса: “... некоторые утверждения о свойствах геометрических фигур принимаются в качестве исходных положений, на основе которых доказываются далее теоремы и, вообще, строится вся геометрия. Такие исходные положения называются аксиомами” [2. С. 56].

Система аксиом рассматриваемого учебника состоит из четырех групп.

I группа - аксиомы взаимного расположения точек и прямых и порядка точек на прямой (аксиомы 1-5, с. 289-290).

II группа - аксиомы наложения и равенства фигур (аксиомы 7-13, с. 291).

III группа - аксиомы измерения отрезков и существования отрезка данной длины (аксиомы 14-15, с. 292).

IV группа - аксиома параллельности (аксиома 16. с. 292).

Авторы не ставят задачи построения системы независимых аксиом, то есть требования того, что ни одну из них нельзя было вывести из остальных. Так, аксиома 5 может быть доказана на основе других аксиом. Для упрощения изложения она принята в качестве аксиомы, а не теоремы.

Система аксиом, безусловно, неполна, но достаточна для построения курса планиметрии.

Учебник А.В. Погорелова.

Основной принципиальной особенностью курса является традиционное содержание. Но это не значит, как считает автор и его комментаторы, что в учебнике сделан простой возврат к традиционной системе. Автор делает попытку поднять традиционный курс геометрии на качественно новый уровень, чего он достигает с помощью аксиоматического построения на основе оригинальной системы аксиом. Но в учебном пособии она “работает” в полную силу не по всем направлениям, а только по основным, центральным вопросам курса (углы, равенство треугольников, параллельные прямые, теоремы о сумме углов треугольника и четырехугольника, теоремы Фалеса и Пифагора, подобие треугольников и др.). Периферийные вопросы курса (длина окружности, площади и др.), имеющие прикладное значение, излагаются с привлечением наглядных соображений.

Аксиоматика планиметрии состоит из 10 аксиом, разбитых на 5 групп.

I группа - аксиомы принадлежности точек и прямых.

II группа - аксиомы взаимного расположения точек на прямой и на плоскости.

III группа - аксиомы измерения отрезков и углов.

IV группа - аксиомы откладывания отрезков и углов и существования треугольника, равного данному.

V группа - аксиома параллельности.

Аксиоматика предъявляется сразу, в 1 изучаются все аксиомы (однако, термин “аксиома” не используется, аксиомы трактуются как “основные свойства простейших геометрических фигур”).

Основной методический принцип введения аксиом - максимальное использование наглядных представлений, выполнение практических работ, в процессе которых анализируются хорошо известные из опыта свойства простейших геометрических фигур. Причем, детально изучаются аксиомы I-III групп, остальные изучаются в ознакомительном порядке, отрабатываются в дальнейшем, в связи с изучением того материала, в котором они непосредственно применяются.

Только после этого вводятся понятия “доказательство”, “теорема”, “аксиома”. Поясняется, что основные свойства простейших фигур, ранее сформулированные, не доказываются, называются аксиомами. При доказательстве теорем разрешается пользоваться ими, а также уже доказанными теоремами.

Таким образом, в учебнике А.В. Погорелова уже в начале изучения планиметрии дается представление о логическом строении курса.

Учебник Шарыгина И.Ф.

В учебнике выделяются основные геометрические формы: тело, поверхность, линия, точка. Исходя из заявленной автором наглядно-эмпирической концепции курса, эти понятия разъясняются описательно, на большом числе примеров. Вводится понятие равенства фигур в случае их совмещения друг с другом. Аксиомы в начале курса присутствуют в виде свойств плоскости. Термина «аксиома» нет, однако «теорема», «доказательство» встречаются уже при знакомстве с первым утверждением, требующим доказательства (о пересечении двух прямых в точке). Автор не разъясняет смысл терминов, а указывает соответствующий материал в дальнейшем изложении курса. Таким образом, в неявном виде присутствуют три аксиомы:

- через любые две точки плоскости можно провести прямую линию и притом только одну;

- любая прямая делит эту плоскость на две части - две полуплоскости;

- любая прямая плоскости является осью симметрии плоскости.

Как видим, вторая и третья аксиомы оригинальны, лежат в основе компактных и кратких доказательств теорем авторского курса. В дальнейшем изложении, в 8-м классе, свойства плоскости пополняются следующим, четвертым (аксиомой параллельности в неявном виде):

– через любую точку плоскости, расположенную вне данной прямой этой же плоскости, можно провести не более одной прямой, параллельной данной.

Список аксиом в дальнейшем не обобщается и полностью нигде не приводится, что отражает концепцию автора о неявной аксиоматике.

геометрия логический планиметрия математика