2.2 Методика ознакомления учащихся основной школы с логическим строением курса планиметрии

Прежде всего, отметим вариативный характер методики изучения курса планиметрии: учитель вправе выбрать один из многочисленных вариантов, в зависимости от того, в каком классе он работает - обычном, профильном, физико-математическом, классе коррекции и т.д.

Приведем лишь один из вариантов методики ознакомления учащихся с аксиоматическим построением курса планиметрии, который адресован обычному классу, не ориентированному на углубленное изучение математики, и в то же время не являющемуся классом коррекции. Эта методика носит щадящий характер, учитывает недостаточное развитие абстрактного мышления у семиклассников. Она принята в учебнике [2], носит многоэтапный характер, что обусловливает постепенное и основательное ознакомление с логической системой курса планиметрии.

1-ый этап. Начало курса.

Введение основных понятий и их свойств в значительной мере опирается на наглядные представления, терминология (“основные неопределяемые понятия”, “аксиомы”, “теоремы” и др.) не используется. Это обусловлено тем, что ученикам, не знающим по существу, что такое доказать то или иное утверждение, трудно воспринимать в начале курса формальное логическое доказательство с помощью аксиом.

Поэтому понятие аксиомы в первых двух главах не вводится. Однако, все необходимые исходные положения, по сути, аксиомы I-III групп, даны в описательной форме уже в первой главе.

Таким образом, на этом этапе изучение аксиоматики носит неявный характер.

2-ой этап. Глава III. Параллельные прямые.

В этой главе вводится понятие параллельных прямых и возникает необходимость во введении понятия аксиомы, причем, эта необходимость аргументируется: “Изучая свойства геометрических фигур, мы доказали ряд теорем. При этом мы опирались, как правило, на ранее доказанные теоремы. А на чем основаны доказательства самых первых теорем геометрии?” [2. С. 56].

Итак на этом этапе явно введены представления об аксиоматическом построении курса планиметрии, нужная терминология; аргументирована необходимость такого построения курса на базе уже имеющегося опыта определения понятий и доказательства конкретных теорем.

3-й этап. Конец курса основной школы.

В конце курса девятилетней школы на заключительных уроках геометрии проводится обобщение понятия о логическом строении планиметрии, только теперь для этого имеется база.

Необходимость аксиом была показана ранее. Полезно показать неизбежность принятия некоторых понятий без определения.

Рассуждения могут быть такими: при определении некоторого понятия можно пользоваться только ранее известными, которые в свою очередь определяются с помощью ранее известных. Следовательно, должны существовать некоторые первоначальные понятия, которые не предшествуют никаким другим. В планиметрии это - “точка”, “прямая”. Их свойства описываются с помощью недоказываемых утверждений - аксиом.

Полезна иллюстрация: квадрат ромб параллелограмм четырехугольник многоугольник ломаная отрезок точка, прямая.

После этого систематизируются аксиомы, приводится их полный список с комментариями.

4-й этап. Выходит за пределы основной школы.

В начале курса стереометрии еще раз необходимо провести обобщение логического строения геометрии: показать, что аксиоматика планиметрии расширяется аксиомами плоскости для получения аксиоматики стереометрии, причем, на любой плоскости пространства справедливы аксиомы планиметрии.