Доказательство.

Доказательство необходимости этого условия очевидно. Поэтому докажем достаточность условия (9.2). Покажем, что может быть найдена такая функция u(x,y), что и.

Действительно, поскольку ,то

(9.3) , где - произвольная дифференцируемая функция. Продифференцируем (9.3) поy:

. Но , следовательно,.

Положим и тогда.

Итак, построена функция , для которой, а.

Рассмотрим пример.

Пример. Найти общий интеграл уравнения: .

Решение. Здесь

Тогда . Следовательно, заданное дифференциальное уравнение 1-го порядка является уравнением в полных дифференциалах, т.е. существует такая функцияu(x,y), частные производные которой соответственно по x и y равны M(x,y) и N(x,y):

. Интегрируем первое из двух соотношений по x:

, .

Теперь продифференцируем u(x,y) по y и приравняем полученное в результате выражение выписанной выше частной производной :

.

Откуда и. Следовательно, общим интегралом заданного уравнения является:.