§ 4. Однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка.

Определение 1. Уравнение 1-го порядка называется однородным, если для его правой части при любыхсправедливо соотношение, называемое условием однородности функции двух переменных нулевого измерения.

Пример 1. Показать, что функция - однородная нулевого измерения.

Решение.

,

что и требовалось доказать.

Теорема. Любая функция - однородна и, наоборот, любая однородная функциянулевого измерения приводится к виду.

Доказательство.

Первое утверждение теоремы очевидно, т.к. . Докажем второе утверждение. Положим, тогда для однородной функции, что и требовалось доказать.

Определение 2. Уравнение (4.1)

в котором M и N – однородные функции одной и той же степени, т.е. обладают свойством при всех, называется однородным.

Очевидно, что это уравнение всегда может быть приведено к виду (4.2) , хотя для его решения можно этого и не делать.

Однородное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными с помощью замены искомой функции y по формуле y=zx, где z(x) – новая искомая функция. Выполнив эту подстановку в уравнении (4.2), получим: илиили.

Интегрируя, получаем общий интеграл уравнения относительно функции z(x) , который после повторной заменыдает общий интеграл исходного уравнения. Кроме того, если- корни уравнения, то функции- решения однородного заданного уравнения. Если же, то уравнение (4.2) принимает вид

и становится уравнением с разделяющимися переменными. Его решениями являются полупрямые: .

Замечание. Иногда целесообразно вместо указанной выше подстановки использовать подстановку x=zy.