§ 2. Обыкновенные дифференциальные уравнения 1-го порядка – основные понятия.

Обыкновенное дифференциальное уравнение 1-го порядка (n=1) имеет вид: или, если его удается разрешить относительно производной:. Общее решениеy=y(x,С) или общий интеграл уравнения 1-го порядка содержат одну произвольную постоянную. Единственное начальное условие для уравнения 1-го порядкапозволяет определить значение константы из общего решения или из общего интеграла. Таким образом, будет найдено частное решение или, что тоже, будет решена задача Коши. Вопрос о существовании и единственности решения задачи Коши является одним из центральных в общей теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Для уравнения 1-го порядка, в частности, справедлива теорема, принимаемая здесь без доказательства.

Теорема 2.1. Если в уравнении функцияи ее частная производнаянепрерывны в некоторой областиD плоскости XOY , и в этой области задана точка , то существует и притом единственное решение, удовлетворяющее как уравнению, так и начальному условию.

Геометрически общее решение уравнения 1-го порядка представляет собой семейство кривых на плоскости XOY, не имеющих общих точек и отличающихся друг от друга одним параметром – значением константы C. Эти кривые называются интегральными кривыми для данного уравнения. Интегральные кривые уравнения обладают очевидным геометрическим свойством: в каждой точкетангенс угла наклона касательной к кривой равен значению правой части уравнения в этой точке:. Другими словами, уравнениезадается в плоскостиXOY поле направлений касательных к интегральным кривым. Замечание: Необходимо отметить, что к уравнению приводится уравнениеи так называемое уравнение в симметрической форме.