§ 8. Уравнение Бернулли.

Определение.

Дифференциальное уравнение вида , где, называется уравнением Бернулли.

Предполагая, что , разделим обе части уравнения Бернулли на. В результате получим:(8.1)

Введем новую функцию . Тогда. Домножим уравнение (8.1) наи перейдем в нем к функцииz(x): , т.е. для функцииz(x) получили линейное неоднородное уравнение 1-го порядка. Это уравнение решается методами, разобранными в предыдущем параграфе. Подставим в его общее решение вместо z(x) выражение , получим общий интеграл уравнения Бернулли, который легко разрешается относительноy. При добавляется решениеy(x)=0. Уравнение Бернулли можно также решать, не делая перехода к линейному уравнению путем подстановки , а применяя метод Бернулли, подробно разобранный в§ 7. Рассмотрим применение этого способа для решения уравнения Бернулли на конкретном примере.

Пример. Найти общее решение уравнения: (8.2)

Решение.

Уравнение (8.2) является уравнением Бернулли, причем .

Будем искать решение уравнения в виде .

Тогда .

В левой части последнего уравнения сгруппируем второе и третье слагаемые, которые содержат функцию u(x), и потребуем, чтобы . Откуда. Тогда для функцииu(x) будем иметь следующее уравнение:

или ,

которое является уравнением с разделяющимися переменными для функции u(x). Решим его ,

,

Следовательно, общее решение данного уравнения имеет вид: ,y(x)=0.