3.1. Свойства сравнений:

1. a ≡ b (mod m), b ≡ c (mod m), a ≡ c(mod m)

2. a ≡ b (mod m) b ≡ a(mod m)

3. a₁ ≡ b₁ (mod m), a₂ ≡ b₂ (mod m), … , a_k ≡ b_k (mod m) =>

a₁+…+a_k ≡ b₁+…b_k(mod m)

4. a+b ≡ c (mod m) a ≡ c–b(mod m)

5. a ≡ b (mod m) a+mt ≡ b+mk(mod m) (t, k Z)

6. a ≡ b (mod m), c ≡ d (mod m) ac ≡ bd(mod m)

7. a ≡ b (mod m) a^k ≡ b^k(mod m)

8. a ≡ b (mod m) ak ≡ bk(mod m)

9. Если a ≡ b (mod m), (a, b) = c, (c, m) = 1 (modm)

10. a ≡ b (mod m) ak ≡ bk (mod mk)

11. a ≡ b (mod m), a = a₁d, b = b₁d, m = m₁d a₁ ≡ b₁(mod m₁)

12. a ≡ b (mod m₁), a ≡ b(mod m₂), …, a ≡ b(mod m_k)

a ≡ b (mod НОК(m₁,…,m_k))

13. a ≡ b (mod m), d\m a ≡ b(mod d)

14. d\a, d\m, a ≡ b(mod m) d\b

15. a ≡ b (mod m) (a, m) = (b, m)

Доказательство данных свойств не представляет сложности и может быть проведено читателем самостоятельно. Найти доказательства этих свойств можно в [5].