3.2. Кольцо многочленов Zp[X].

Рассмотрим более подробно кольцо многочленов Z_p[x], где p – простое число.

Справедлива

Теорема (о единственности разложения).

, если g(x)≠0, существует единственное разложение g(x)=a·f₁(x)∙f₂(x)∙…∙f_n(x), где, f_i(x) – приведенные неприводимые (не обязательно различные) многочлены над Z_p[x] .

■

При помощи алгоритма Евклида можно вычислить наибольший общий делитель двух многочленов. Справедлив и расширенный алгоритм Евклида для многочленов.

Пример.

Отыщем НОД(x⁵+x²+x+1, x³+x²+x+1) над Z₂[x]. Воспользуемся алгоритмом Евклида:

x⁵+x²+x+1=(x²+x)( x³+x²+x+1)+(x²+1)

x³+x²+x+1=(x+1)(x²+1)+0.

Ответ: НОД(x⁵+x²+x+1, x³+x²+x+1)= x²+1.