Оглавление

Аннотация. 2

ПРЕДИСЛОВИЕ 3

ВВЕДЕНИЕ 5

ГЛАВА 1. Основы теории чисел. 8

§1. Теория делимости. 8

1.1. Основные понятия и теоремы. 9

1.2. Наибольший общий делитель. 11

1.3 НОК (наименьшее общее кратное) 17

1.4. Простые числа 17

1.5. Единственность разложения на простые сомножители. 20

1.6. Асимптотический закон распределения простых чисел. 23

§2. Функция Эйлера. 26

2.1. Мультипликативные функции. 26

2.2. Функция Эйлера. 27

§3. Теория сравнений 29

3.1. Свойства сравнений: 29

3.2. Полная система вычетов. 30

3.3. Приведенная система вычетов 32

3.4. Обратный элемент. 32

3.5. Алгебраические структуры на целых числах. 34

3.6. Теоремы Эйлера и Ферма. Тест Ферма на простоту. 37

3.7. Применение теоремы Эйлера в RSA: 39

§4. Сравнения с одним неизвестным 43

4.1. Сравнения первой степени. 43

4.2. Система сравнений первой степени. Китайская теорема об остатках. 45

4.3. Применения китайской теоремы об остатках. 47

4.4. Сравнения любой степени по простому модулю. 50

4.5. Сравнения любой степени по составному модулю. 51

§5. Теория квадратичных вычетов 55

5.1. Квадратичные вычеты по простому модулю. 55

5.2. Символ Лежандра. Символ Якоби. 56

5.3. Тест на простоту Соловея-Штрассена. 61

5.4. Решение квадратичных сравнений по простому модулю. 62

5.5. Квадратичные сравнения по составному модулю. 66

5.6. Тест на простоту Миллера-Рабина. 70

5.7. Связь задач извлечения квадратных корней и факторизации по модулю RSA. Криптосистема Рабина. 72

5.8. Квадраты и псевдоквадраты. 74

5.9. Числа Блюма. 75

§6. Первообразные корни и индексы. Порождающий элемент и дискретный логарифм. 79

6.1. Основные понятия и теоремы. 79

6.2. Существование первообразных корней по модулю p. 81

6.3. Первообразные корни по модулям pα, 2pα. 82

6.4. Нахождение первообразных корней по простому модулю. 85

6.5. Существование и количество первообразных корней. 86

6.6. Дискретные логарифмы. 87

6.7. Проблема Диффи-Хеллмана. 88

6.8. Условная стойкость шифра Эль Гамаля. 88

§7. Построение доказуемо простых чисел общего и специального вида. 90

7.1. Теорема Сэлфриджа и доказуемо простые числа общего вида на основании полного разложения (n—1). 90

7.2. Теорема Поклингтона и доказуемо простые числа общего вида на основании частичного разложения (n—1). 92

7.3. Числа Ферма. Теорема Пепина. 93

7.4. Числа Мерсенна. 94

7.5. Теорема Диемитко и процедура генерации простых чисел заданной длины ГОСТ Р 34.10-94. 96

ГЛАВА 2. Алгебраические основы теории чисел. 99

§1. Основные понятия алгебры. 100

1.2. Делимость в кольцах. 107

1.3. Деление с остатком. 110

1.4. Основная теорема арифметики. 114

§2. Конечные поля и неприводимые многочлены. 119

§3. Кольца многочленов. 129

3.1. Кольца многочленов. 129

3.2. Кольцо многочленов Zp[x]. 130

3.3. Конечные поля многочленов. 131

ГЛАВА 3. Алгоритмы в криптографии и криптоанализе. 134

§1. Элементы теории сложности. 134

§2. Алгоритмы факторизации. 139

2.1. Метод пробных делений. 140

2.2. Метод Ферма. 141

2.3. Метод квадратичного решета. 141

2.4. Ро-метод Полларда. 143

2.5. p—1 – метод Полларда. 145

2.6. Методы случайных квадратов. 147

§3. Алгоритмы дискретного логарифмирования. 149

3.1. Метод прямого поиска. 149

3.2. Шаг младенца – шаг великана. 150

3.3. Ро-метод Полларда для дискретного логарифмирования. 152

3.4. Алгоритм Полига-Хеллмана. 154

3.5. Алгоритм исчисления порядка (index-calculus algorithm). 157

Упражнения к Главе 2. 164

13