logo
matem

3. Варианты индивидуальных заданий для самостоятельной работы студентов

Задание 1. Даны два неколлинеарных вектораПостроить векторы:

1.1.

а)

б)

в)

1.2.

а)

б)

в)

1.3.

а)

б)

в)

1.4.

а)

б)

в)

1.5.

а)

б)

в)

1.6.

а)

б)

в)

1.7.

а)

б)

в)

1.8.

а)

б)

в)

1.9.

а)

б)

в)

1.10.

а)

б)

в)

1.11.

а)

б)

в)

1.12.

а)

б)

в)

1.13.

а)

б)

в)

1.14.

а)

б)

в)

1.15.

а)

б)

в)

1.16.

а)

б)

в)

1.17.

а)

б)

в)

1.18.

а)

б)

в)

1.19.

а)

б)

в)

1.20.

а)

б)

в)

1.21.

а)

б)

в)

1.22.

а)

б)

в)

1.23.

а)

б)

в)

1.24.

а)

б)

в)

1.25.

а)

б)

в)

1.26.

а)

б)

в)

1.27.

а)

б)

в)

1.28.

а)

б)

в)

1.29.

а)

б)

в)

1.30.

а)

б)

в)

Задание2. Найти длину вектора и его направляющие косинусы.

2.1.

А(1;2;0), В(3;0;3).

2.6.

А(0;6;4), В(3;5;3).

2.2.

А(3;0;1), В(–1;2;0).

2.7.

А(3;–1;2), В(1;2;–1).

2.3.

А(1;3;–1), В(1;–1;3).

2.8.

А(1;2;–1), В(–1;1;–3).

2.4.

А(3;1;4), В(–1;6;1).

2.9.

А(2;1;–1), В(3;0;1).

2.5.

А(2;–1;2), В(1;2;–1).

2.10.

А(3;–4;2), В(4;–2;0).

2.11.Доказатьколлинеарность векторови. Установить, какой из них длиннее и во сколько раз и как они относительно друг друга направлены.

2.12. Определить, при каких значениях  и  векторы иколлинеарны.

2.13. Найти орт вектора .

2.14. Дан вектор . Найти вектор, противоположно направленный к вектору, если.

2.15. Найти длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах ,.

2.16. Векторы иявляются сторонами ∆АВС. Определить координаты векторов, проведенных из вершин треугольника и совпадающих с его медианами.

2.17. В точке А(1;3) приложена сила, проекции которой на оси координат равны:х = 3, у = 4. Определить конец вектора , изображающего силу и величину силы.

2.18. Даны три вершиныпараллелограмма: А(3;–4; 7), В(–5; 3; –2), С(1; 2; –3). Найти его четвертую вершину D, противоположную вершине В.

2.19. Доказать, что точки А(3; –1; 2),В(–1; 1; –3), С(1; 2; –1),D(3; –5; 3) являются вершинами трапеции. Найти длины ее параллельных сторон.

2.20. В точке А(–3; –2) приложена сила, проекция которой у = –1, а проекция х положительна. Определить конец вектора, изобра­жающего силу, если его величина равна.

2.21. Найти единичный вектор, перпендикулярный вектору и оси Оу.

2.22. Найти вектор , коллинеарный векторуи удовлетворяющий условию.

2.23. Найти направляющие косинусы вектора, перпендикулярного к оси Оz и к вектору , проходящему через точки А(1;–1;4) и В(–3;2;4).

2.24. Вектор , перпендикулярный к оси Oz и к вектору , образует острый угол с осью Оx. Зная, что длина вектора, найти его координаты.

2.25. Дан равносторонний треугольник АВС, у которого длины сторон равны 1. Полагая, что ,,,вычислить выра­жение.

2.26. Найти единичный вектор, перпендикулярный к векторам и.

2.27. Даны силы,,, прило­женные к одной точке. Вычислить работу равнодействующей этих сил, когда ее точка приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается из точки В(5; 3; –7) в точку С(4; –1; –4).

2.28. На материальную точку действуют силы ,,. Найти работу равнодействующей этих сил при перемещении из точки В(–2; 5;–1) в точку С(0; 0; –3).

2.29. Упростить выражение , если,,, где,,.

2.30. Определить, при каком значении  векторы ибудут взаимно перпендикулярны, если,,.

Задание 3. Разложить аналитически и геометрически вектор по векторам

3.1.

3.16.

3.2.

3.17.

3.3.

3.18.

3.4.

,

3.19.

3.5.

,,

3.20.

3.6.

,

3.21.

3.7.

,

3.22.

3.8.

.

3.23.

3.9.

,

3.24.

3.10.

3.25.

3.11.

3.26.

3.12.

3.27.

3.13.

3.28.

3.14.

3.29.

3.15.

3.30.

Задание 4. Вычислить длины векторовугол между ними и проекцию .

4.1. .

4.2. .

4.3. .

4.4. .

4.5. .

4.6. .

4.7. .

4.8. .

4.9. .

4.10..

4.11. Вычислить длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах и, если ,и угол между ними.

4.12. Вычислить длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах и, гдеи– единичные векторы, угол между которыми 60о.

4.13. Доказать, что вектор перпендикулярен к вектору.

4.14. Доказать, что вектор перпендикулярен к вектору.

4.15. Доказать, что скалярное произведение двух векторов не изменится, если к одному из них прибавить вектор, ортогональный к другому сомножителю.

4.16. Вычислить, какую работу производит сила , когда точка ее приложения перемещается прямолинейно из точки А(2;–3; 5) в точку В(3; –2; –1).

4.17. Силы ,,приложены к одной точке. Вычислить величину и направляющие косинусы равнодействующей.

4.18. Найти единичный вектор, перпендикулярный к вектору и к оси Ох.

4.19. Найти вектор , коллинеарный векторуи удовлетворяющий условию.

4.20. В плоскости хОу найти вектор , перпендикулярный к вектору,имеющий одинаковую с ним длину.

4.21. На плоскости хОу построить радиус-векторы ,и. Разложить геометрически и аналитически векторпо векторам.

4.22. Разложить вектор по векторамианалитически и геометрически.

4.23. Разложить вектор по векторамианалитически и геометрически.

4.24. Векторразложить по векторамианалитически и геометрически.

4.25. Найти разложение вектора по векторамианалитичес­ки и геометрически:,,.

4.26. Разложить вектор по векторамианалитически и геометрически:,,.

4.27. Разложить вектор по векторамианалитически и гео­метрически:,,. Будут ли векторы линейно зависимы?

4.28. ,,.

4.29. ,,.

4.30. ,,.

Задание5. Сила приложена к вершине А треугольника АВС. Вычислить работу силы по сторонам АВ и АС, момент силы относительно середины стороны ВС.

5.1.

А(1; –2; 3);

В(0; –1; 2);

С(2; –3; 6);

(1; 0; 3).

5.2.

А(6; 0; –5);

В(3; 4; 1);

С(1; –2; 1);

(2; 3; 7).

5.3.

А(2; –1; 5);

В(7; 2; 1);

С(3; 0; 1);

(8; 0; 1).

5.4.

А(0; 3; –5);

В(7; 8; –4);

С(1; 2; –2);

(5; –1; 2).

5.5.

А(–1; 3; 0);

В(6; 5; –2);

С(0; 1; 2);

(2; 1; 3).

5.6.

А(5; 2; –1);

В(3; 0; 4);

С(1; 2; –2);

(1; 3; –5).

5.7.

А(3; 1; 4);

В(–2; 4; 6);

С(6; 0; 10);

(1; 4; 0).

5.8.

А(6; 2; 0);

В(–4; 10; 5);

С(–2; 6; 9);

(3; 2; 4).

5.9.

А(3; 2; –1);

В(5; 3; 3);

С(1; 10; 5);

(5; 1; 2).

5.10.

А(2; 0; 8);

В(4; 5; –2);

С(6; 3; 0);

(1; 7; –3).

Вычислить площадь треугольника АВС; длину высоты, про­веденной из вершины В; угол ВАС; .

5.11.

А(3;2;1);

B(6;2;5);

C(–1;2;1).

5.12.

A(1;3;–1);

B(2;0;4);

C(1;5;–2).

5.13.

A(2;0;3);

B(1;1;2);

C(3;1;4).

5.14.

A(1;2;3);

B(2;1;–3);

C(3;0;4).

5.15.

A(1;–2;0);

B(5;4;1);

C(1;–1;–1).

5.16.

A(0;1;2);

C(–1;3;2);

C(3;3;1).

5.17.

A(2;1;3);

B(–1;2;0);

C(3;2;5).

5.18.

A(5;3;2);

B(4;1;0);

C(8;4;3).

5.19.

A(2;0;–1);

B(3;4;–1);

C(2;1;0).

5.20.

A(5;–2;1);

B(2;–1;6);

C(6;1;3).

Диагонали параллелограмма лежат на векторах и. Вычислить площадь и меньшую высоту параллелограмма.

5.21.

3,1,.

5.26.

4,4,.

5.22.

5.27.

7,7,.

5.23.

5.28.

5.24.

7,2,.

5.29.

5.25.

1,3,.

5.30.

Задание6.Проверить, лежат ли точки А, В, С, D в одной плоскос­ти?

6.1.

А(1;–2;3),

В(1;0;–1),

С(3;2;4),

D(0; –2; 1).

6.2.

А(3;0;–1),

В(2;1;4),

С(5;2;–2),

D(–1; –4; 1).

6.3.

А(2;1;–5),

В(3;0;1),

С(–2;7;1),

D(4; 3; 1).

6.4.

А(5;1;–1),

В(4;1;2),

С(0;3;–5),

D(3; 2; 1).

6.5.

А(6;3;–2),

В(0;2;5),

С(3;4;1),

D(0; 5; 4).

6.6.

А(1;5;2),

В(–3;1;1),

С(7;9;0),

D(1; 2; –3).

6.7.

А(4;2;–1),

В(3;1;6),

С(–2;5;–4),

D(8; 0; 1).

6.8.

А(2;1;5),

В(0;11;2),

С(3;8;1),

D(6; 2; 7).

6.9.

А(3;2;1),

В(–1;2;0),

С(3;5;–2),

D(11; 2; 3).

6.10.

А(2;6;3),

В(0; –3;5),

С(7; 2;–1),

D(–3; 10; 7).

Вершины тетраэдра расположены в точках А, В, С, D. Вычислить его объем и высоту, опущенную из вершины А на грань ВСD.

6.11.

А(–1; 0; 5),

В(1; 2; –1),

С(0; 2; 2),

D(–1;0;2).

6.12.

А(–5; 4; 8),

В(2; 3; 1),

С(4; 1; –2),

D(6;3;7).

6.13.

А(2; –4; 5),

В(–1; 3; 4),

С(5; 5; –1),

D(1;–2;2).

6.14.

А(0; 0; 0),

В(3; 4; –1),

С(2;3; 5),

D(6;0;–3).

6.15.

А(3; 2; –6),

В(4; –1; 3),

С(–2; 1; 0),

D(0;–5;1).

6.16.

А(3; 4; 5),

В(–1; 2; –3),

С(4; –1; 0),

D(2;1;–2).

6.17.

А(7; 5; –3),

В(2; 3; 1),

С(4; 1; –2),

D(6;3;7).

6.18.

А(–4; 3; –12),

В(1; 5; –7),

С(–3; 6; 3),

D(–2;7;3).

6.19.

А(8; 4; –9),

В(1; 2; 0),

С(3; 0; –3),

D(5;2;6).

6.20.

А(–1; 0; –2),

В(1; 1; 2),

С(–1; 1; 3),

D(2;–2;4).

Вычислить объем параллелепипеда, построенного на векторах ,,, и его высоту, опущенную на грань, лежащую на векторах,.

6.21.

,

,

.

6.22.

,

,

.

6.23.

,

,

.

6.24.

,

,

.

6.25.

,

,

.

6.26.

,

,

.

6.27.

,

,

.

6.28.

,

,

.

6.29.

,

,

.

6.30.

,

,

.