logo
matem

1.9. Смешанное произведение тройки векторов, его свойства и применение*

Смешанным произведением векторов,иназывается число, равное скалярному произведению векторана вектор, равный векторному произведению векторови.Обозначается как.

Смешанное произведение векторов обладает следующими свой­ствами:

1. Смешанное произведение равно нулю, если:

а) хотя бы один из векторов нулевой;

б) в произведении есть коллинеарные векторы;

в) векторы компланарны.

2. .

3..

4..

В координатной форме смешанное произведение векторов ,иравно:

.

Применение смешанного произведения векторов.

1.Проверка тройки векторов на компланарность. Векторы ,икомпланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю при условии, что,,:

векторы ,икомпланарны.

Пример 1. Доказать, что точки А(5; 7; 2), B(3; 1; –1), C(9; 4; –4), D(1; 5; 0) лежат в одной плоскости.

Решение.Если заданные точки лежат в одной плоскости, то соответствующая тройка векторов, выходящих из общего начала, будет компланарна. Проверим, компланарны ли векторы с общим началом в точке А. Найдем координаты этих векторов: , ,.Вычислим их смешанное произведение:

.

Таким образом, полученные выше векторы компланарны, следовательно, точки A, B, C и D лежат в одной плоскости.

2.Определение взаимной ориентации тройки векторов в пространстве. Тройка векторов ,ив пространстве право­ориентирована, если,и левоориентирована при .

3.Нахождение объемов. Смешанное произведение по модулю равно объему параллелепипеда, построенного на векторах,и, как на сторонах (рис. 13), т.е.

.

Объем треугольной пирамиды, построенной на векторах ,и, как на сторонах (рис. 14), равен одной шестой смешанного произведенияэтих векторов, взятого по абсолютной величине, т.е.

.

Пример 2. Найти длину высоты треугольной пирамиды с вершинамиA(0; 0; 1), B(2; 3; 5), C(6; 2; 3), D(3; 7; 2), опущенную на грань BCD.

Решение.Даны координаты векторов: , .Тогда объем пирамиды можно вычислить по формуле

Из школьного курса математики известно, что .Откудаследует, что Поэтому для нахождения длины высоты пирамиды найдем сначала площадь основания BCD.

Определим модуль векторного произведения векторов:

.

Тогда площадь треугольника BCDравнаSосн = (ед.2), а длина искомой высоты –(ед.).

Литература: [3, гл. 2, п. 12.13]; [4, гл. 2, §8].