7. Какие существуют стандартизированные аксонометрические проекции?

Аксонометрия – это изменение по 3-м осям на одной плоскости. В 1853 году К.Польке (1810-1896) доказал основную теорему параллельной аксонометрии : три отрезка О’Е’х, О’Е’y, О’Е’z произвольной длины, лежащие на одной плоскости и выходящие из точки О’ под произвольными углами друг к другу, представляют параллельную проекцию трех равных отрезков ОЕх, ОЕy, ОЕz, отложенных на прямоугольных осях координат от начала О. На основании этой теоремы можно совершенно произвольно выбрать систему аксонометрических осей и масштабов.

1Прямоугольная изометрия. (u=v=w=0.82 угол 120)

2Прямоугольная диметрия (u=w=2v u=w=0.94 ,v=0.47)

3Косоугольная фронтальная изометрия (кавальерная проекция u=v=w=1)

4косоугольная фронтальная диметрия (кабинетная проекция u=w=1 v=0.5 )

5Косоугольная горизонтальная изометрия (военная перспектива u=v=w=1)

Что такое метод Монже? (вид проецирования)

Г.Монж предложил следующую схему получения обратимого чертежа: оригинал проецируется прямоугольно на две взаимно перпендикулярные плоскости π1 и π2 называемые фронтальной и горизонтальной плоскостями проекций. Они разделяют пространство на четыре подпространства, называемые четвертями. На рис1. пронумерованы римскими цифрами. Плоскость π2 совмещается с плоскостью π1 путем вращения ее вокруг оси Ох. полученный плоский чертеж называется эпюром Монжа. Эпюр – французское слово «epure», переводится на русский язык «Чертеж».

метод монжа

Если информацию о расстоянии точки относительно плоскости проекции дать не с помощью числовой отметки, а с помощью второй проекции точки, построенной на второй плоскости проекций, то чертеж называют двухкартинным или комплексным. Основные принципы построения таких чертежей изложены Гаспаром Монжем - крупным французским геометром конца 18, начала 19 веков, 1789-1818 гг. одним из основателей знаменитой политехнической школы в Париже и участником работ по введению метрической системы мер и весов.

Изложенный Монжем метод ортогонального проецирования на две взаимно перпендикулярные плоскости проекций был и остается основным методом составления технических чертежей.

В соответствии с методом предложенным Г. Монжем рассмотрим в пространстве две взаимно перпендикулярные плоскости проекций (рис.6). Одну из плоскостей проекций П1 располагают горизонтально, а вторую П2 - вертикально. П1 - горизонтальная плоскость проекций, П2- фронтальная. Плоскости бесконечны и непрозрачны.

Проекционный чертеж, на котором плоскости проекций со всем тем, что на них изображено, совмещенные определенным образом одна с другой, называется эпюром Монжа (франц. Epure – чертеж.) или комплексным чертежом

Что такое комплексный чертеж?

Проекционный чертеж, на котором плоскости проекций со всем тем, что на них изображено, совмещенные определенным образом одна с другой, называется эпюром Монжа (франц. Epure – чертеж.) или комплексным чертежом

Он представляет собой изображение предмета на нескольких совмещенных плоскостях. Комплексный чертеж, состоящий из двух ортогональных проекций, связанных между собой, называется двухпроекционным. На этом чертеже горизонтальная и фронтальная проекции точки всегда лежат на одной вертикальной линии связи.

Как строятся комплексный чертеж точки, прямой и плоскости

Построим пространственную модель, на которой изобразим две взаимно перпендикулярные плоскости П1 и П2. Линия пересечения плоскости П1 и плоскости П2 называется осью проекций и обозначается П2 / П1. Ось проекций совпадает с осью ОХ.

Выберем в пространстве точку А и опустим из неё на плоскости П1 и П2 перпендикуляры. Тогда мы получим две проекции точки А: А1 - первую или горизонтальную проекцию точки А и А2 - вторую или фронтальную проекцию точки А. Прямые А А1 и А А2 называются проецирующими прямыми или проецирующими лучами.

Перейдем от модели к чертежу. Для этого мысленно удалим точку А и повернём плоскость П1 вместе с отрезком А1 А0 вокруг оси проекций П2 / П1 до совмещения с плоскостью П2.

Полученный чертеж называется эпюром Монжа, ортогональным чертежом или комплексным чертежом.

Комплексный чертёж линии

Комплексный чертёж линии представляет собой совокупность проекций точек этой линии на две или три плоскости проекций. На комплексном чертеже необходимо установить связь между проекциями точек. В этом случае линия будет определена однозначно.

Например, возьмём прямую m общего положения, заданную двумя точками А и В. Построим ортогональные проекции отрезка АВ на плоскости П1, П2, П3. Соединив ортогональные проекции точек А и В на каждой плоскости, мы получим ортогональную проекцию отрезка АВ на все три проецирующие плоскости.

Теперь перейдём к ортогональному чертежу. По аналогии с тем как мы строили ортогональный чертёж точки, построим ортогональный чертёж отрезка АВ общего положения на все три плоскости проекций. Для этого сначала построим проекции точки А: А1, А2 и А3, затем проекции точки В: В1, В2 и В3. Соединим одноимённые проекции точек А и В. Мы получили комплексный чертёж отрезка прямой АВ общего положения на все три плоскости проекций.

Комплексные чертежи плоскостей

Рассмотрим пример комплексного чертежа плоскости общего положения, заданной тремя точками, не лежащими на одной прямой: А, В, С, т. е. треугольник АВС. Спроецируем точки А, В, С на все три плоскости проекций, и получим ортогональные проекции плоскости, заданной треугольником АВС. Каждая проекция плоскости АВС, есть треугольник.

Как на комплексном чертеже можно задавать прямые и плоскости?

Задание прямой

Двумя точками.

2. Двумя плоскостями (a; b).

3. Двумя проекциями.

4. Точкой и углами наклона к плоскостям проекций.

Задание плоскости на чертеже

а) проекциями трех точек, не принадлежащих одной прямой линии;

б) проекциями прямой и не принадлежащей ей точки;

в) проекциями двух пересекающихся прямых;

г) проекциями двух различных параллельных прямых;

д) проекциями плоской фигуры.

Как на эпюре располагаются проекции точек, прямых, плоскостей при следующих их взаимных расположениях:

Если точка С лежит на прямой:

Ответ:

Если точка принадлежит прямой, то её проекции должны принадлежать одноименным проекциям этой прямой (аксиома принадлежности точки прямой).

Из четырех предложенных на рисунке точек, только одна точка С лежит на прямой АВ.

Если 2 прямые параллельны между собой.

Ответ:

Параллельными называются две прямые,

которые лежат в одной плоскости и не имеют общих точек.

Проекции параллельных прямых на любую плоскость (не перпендикулярную данным прямым) - параллельны.

Если AB//CD то A1B1//C1D1; A2B2//C2D2; A3B3//C3D3 .

В общем случае справедливо и обратноеутверждение

Если 2 прямые пересекаются.

Ответ:

Пересекающимися называются две прямые лежащие в одной плоскости и имеющие одну общую точку.

Если прямые пересекаются, то точки пересечения их одноименных проекций находится на одной линии связи

Если 2 прямые скрещиваются (конкурирующие точки).

Ответ:

Скрещивающимися называются две прямые не лежащие в одной плоскости.

Если прямые не пересекаются и не параллельны между собой, то точка пересечения их одноименных проекций не лежит на одной линии связи.

Точке пересечения фронтальных проекций прямых (рис. 38) соответствуют две точки А и В, из которых одна принадлежит прямой а, другая в. Их фронтальные проекции совпадают лишь потому, что в пространстве обе точки А и В находятся на общем перпендикуляре к фронтальной плоскости проекций. Горизонтальная проекция этого перпендикуляра, обозначенная стрелкой, позволяет установить, какая из двух точек ближе к наблюдателю. На предложенном примере ближе точка В, лежащая на прямой в, следовательно, прямая в проходит в этом месте ближе прямой а и фронтальная проекция точки В закрывает проекцию точки А. (Для точек С и D решение аналогично).

Этот способ определения видимости по конкурирующим точкам. В данном случае точки А и В- фронтально конкурирующие, а С и D -горизонтально конкурирующие.

Если прямая Параллельна плоскости проекции П1 или П2 и как она в таком случае называется?

Ответ:

Прямые параллельные плоскостям проекций, занимают частное положение в пространстве и называются прямыми уровня. В зависимости от того, какой плоскости проекций параллельна заданная прямая, различают:

Прямые параллельные горизонтальной плоскости проекций называются горизонтальными или горизонталями.

Прямые параллельные фронтальной плоскости проекций называются фронтальными или фронталями.

Прямые параллельные профильной плоскости проекций называются профильными.

Особый случай представляют собой прямые, параллельные одной из плоскостей проекций. Например, фронтальные и горизонтальные проекции профильных прямых параллельны, но для оценки их взаимного положения необходимо сделать проекцию на профильную плоскость проекций (рис. 34). В рассмотренном случае проекции отрезков на плоскость П3 пересекаются, следовательно, они не параллельны.

Решение этого вопроса можно получить сравнением двух соотношений если:

А2В2/ А1В1= С2Д2/ С1 Д1Þ АВ//СД

А2В2/ А1В1¹ С2Д2/ С1Д1Þ АВ#СД

Если прямая перпендикулярна плоскости проекций П1 или П2

Ответ:

Прямые, перпендикулярные плоскостям проекций, называются проецирующими. Прямая перпендикулярная одной плоскости проекций, параллельна двум другим.

Фронтально-проецирующая прямая - АВ

Профильно проецирующая прямая – АВ

Горизонтально-проецирующая прямая - АВ

Что такое прямая общего положения и определение натуральной величины отрезка.

Ответ:

Прямая не параллельная ни одной плоскости проекций называется прямой общего положения

Определение длины отрезка по его проекциям.

Отрезки прямых уровня (фронтали и горизонтали) – проецируются в натуральную величину соответственно на фронтальную и горизонтальную плоскости проекции.

Отрезки проецирующих прямых (перпендикулярных плоскости) проецируются на две плоскости проекций в истинную величину. Во всех остальных случаях отрезки прямых проецируются с искажением.

Для того чтобы определить натуральную величину отрезка прямой по его ортогональному чертежу рассмотрим пространственную модель отрезка АВ, спроецированного на плоскости проекций П1 и П2.

Проведём отрезок АС || А1В1 и рассмотрим прямоугольный треугольник АВС. Отрезок АВ является его гипотенузой, а катетами - отрезки АС, равный по длине отрезку А1В1, и ВС, длина которого равна разности расстояний от концов отрезка АВ до П1.

На ортогональном чертеже проекции точки определяют ее координаты Х, Y, Z. Длина отрезка АВ вычисляется по формуле: |AB| = корень ((XB-XA)2+(YB-YA)2+(ZB-ZA)2) = корень ((XB-XA)2+(YB-YA)2+(B2C2)2) = корень((A1B1)2+(B1B0)2).

Графически на чертеже эту задачу решают по схеме:

Обозначить вторую проекцию С2 точки С;

Определить длину отрезка В2С2, как разность глубин точек А и В относительно П1.

На плоскости П1 из точки В1 провести прямую отрезку А1В1 и на этой прямой отложить отрезок В1B0, равный В2С2. Получится прямоугольный треугольник А1В1B0.

Гипотенуза А1B0 прямоугольного треугольника А1В1B0 равна натуральной величине отрезка АВ, а угол a - угол наклона отрезка АВ к фронтальной плоскости проекций.

Следы прямой

Следом прямой называется точка пересечения прямой с плоскостью проекций. Горизонтальный след – точка пересечения с горизонтальной плоскостью проекций П₁. Фронтальный след – точка пересечения с фронтальной плоскостью проекций П₂. Профильный след – точка пересечения с профильной плоскостью проекций П₃.

Для построения следов прямой общего положения на комплексном чертеже необходимо продлить проекции прямой до пересечения с осями координат. На рис.3.2 показано построение горизонтального и фронтального следов прямой n. Для этого продлевались горизонтальная проекция n₁ и фронтальная проекция n₂ до пересечения с осью x₁₂.

Рис.3.2. Построение следов прямой общего положения:

М– горизонтальный след;N – фронтальный след

Какие взаимные положения возможны между прямой и плоскостью?

Ответ:

В пространстве прямая может либо принадлежать плоскости, либо не принадлежать плоскости. Это утверждение справедливо и для точки. Прямая принадлежит плоскости, если она проходит:

Через две точки, принадлежащие плоскости;

Через точку плоскости параллельно любой прямой этой плоскости.

Сформулируем условие принадлежности прямой плоскости как аксиомы:

Аксиома 1. Прямая принадлежит плоскости, если две её точки принадлежат этой плоскости.

Аксиома 2. Прямая принадлежит плоскости, если имеет с плоскостью одну общую точку и параллельна какой-либо прямой расположенной в этой плоскости.

Определение: прямая параллельна плоскости, если она параллельна прямой, принадлежащей данной плоскости.

Также прямая может пересекаться с плоскостью.

Если прямая перпендикулярна плоскости, то горизонтальная проекция этой прямой перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали плоскости, а фронтальная проекция – фронтальной проекции фронтали плоскости.