Предел функции.
1-е Определение. Пусть функция f (x) определена на интервале (a, b), кроме, может быть, точки x0 ∈ (a, b). Число A называется пределом функции f при x → x0, если для любой последовательности {xn}, xn ∈ (a, b), xn 6= x0, n = 1, 2, . . ., сходящейся к точке x0:
= x0,
последовательность {f (xn)} сходится к числу A:
= A,
Если такое число A существует, то говорят также, что оно является пределом функции f (x) в точке x0, и пишут
A =
или
f (x) → A при x → x0.
Замечание.
Первое. Функция не может иметь двух разных пределов в одной точке.
Второе. Существование предела функции и его значение в точке x0 не зависит от выбранного интервала (a, b)
Предел слева и справа
Пусть функция f определена на полуинтервале (a, x0], кроме, быть может, точки x0. Число B называется пределом слева функции f в точке x0, если какова бы ни была такая последовательность {xn}, что
= x0, a < xn < x0, n = 1, 2, . . .
( в частности, это означает, что последовательность {xn} сходится слева к точке x0), последовательность {f (xn)} сходится к числу B:
= B.
Если такое число B существует, то пишут
B =
или
B = f (x0 − 0).
Аналогично определяется предел справа f (x0 + 0) = limx→x0+0 f (x).
2-e ОПРЕДЕЛЕНИЕ.
Число A называется пределом функции f (x) в точке x0, то есть
A =,
если для любого ε > 0 существует такое число δ = δ(ε) > 0, что для всех x, удовлетворяющих условию
|x − x0| < δ, x x0,
выполняется неравенство |f (x) − A| < ε.
Второе определение предела функции слева и справа
Пусть функция f (x) определена на полуинтервале (a, x0] (соотвественно на полуинтервале [x0, b)) кроме, быть может, точки x0.
Определение. Число B называется пределом слева (справа) функции f (x) в точке x0, если для любого ε > 0 существует такое число δ = δ(ε) > 0, что для всех x, удовлетворяющих условию
x0 − δ < x < x0
(соответственно x0 < x < x0 + δ) выполняется неравенство
|f (x) − B| < ε.
Связь между односторонними пределами и двухсторонним пределом устанавливает следующая:
Теорема. Функция f имеет предел в точке тогда и только тогда, когда в этой точке существуют пределы как слева, так и справа и они равны. В этом случае их общее значение и является двусторонним пределом функции f в этой точке.
ВТОРАЯ ГРУППА СВОЙСТВ.
Теорема Вейерштрасса
В теории сходимости последовательностей одно из центральных мест занимает вопрос о существовании предела у данной последовательности
Обычная формулировка теоремы Вейерштрасса
Если последовательность монотонна и ограничена, то она имеет предел.
Ещё одна формулировка теоремы Вейерштрасса
Неубывающая (невозрастающая) последовательность, ограниченная сверху (снизу), имеет предел.
Итак, понятие монотонности, ограниченности и сходимости последовательности тесно связаны между собой.
Теорема Вейерштрасса для пределов функций
Обычная формулировка теоремы Вейерштрасса для предела функций
Если функция монотонна и ограничена, то она имеет предел в любой точке. Более того она имеет предел слева и справа в любой точке.
Ещё одна формулировка теоремы Вейерштрасса для предела функции
Неубывающая (невозрастающая) функция, ограниченная сверху (снизу), имеет предел. Более того она имеет предел слева и справа в любой точке.
Итак, понятие монотонности, ограниченности и существования предела функции тесно связаны между собой.
Критерий Коши сходимости последовательностей
Начнем с определения.
Определение. Последовательность {an} называется фундаментальной (или последовательностью Коши), если для любого ε > 0 найдется такой номер N ∈ N, что из n > N и m > N следует, что |am − an| < ε.
Теорема (Критерий Коши)
Числовая последовательность сходится тогда и только тогда, когда она фундаментальна.
Критерий Коши существования предела функции
Начнем с определения.
Определение.
Функция f называется функцией, удовлетворяющей условию Коши при x → x0, если для любого ε > 0 найдется такое δ = δ(ε) > 0, что, каковы бы ни были x ∈ O(x0, δ), x x0 и x’ ∈ O(x0, δ), x’ x0, для значений функции f в этих точках выполняется неравенство |f (x) − f (x’)| < ε.
Теорема (Критерий Коши)
Для того чтобы функция f имела предел при x → x0 необходимо и достаточно, чтобы удовлетворяла условию Коши при x → x0.
- Предел функции.
- Правила вычисления производных, связанные с арифметическими действиями над функциями.
- Найти , если и .
- Производная и дифференциал функции. Уравнение касательной прямой.
- Провести полное исследование функции и построить её график.
- 1)Свойства функций, непрерывных в точке
- 2) Методы решения задач аналитической геометрии