1)Свойства функций, непрерывных в точке

Теорема об алгебраических свойствах функций, непрерывных в точке

Если функции f и g непрерывны в точке x0, то функции cf (c — постоянное), f + g, f − g, f · g, а если, кроме того, g(x0) 0, то и f /g , также непрерывны в точке x0.

Эта теорема вытекает непосредственно из определения 1 непрерывности функции в точке и свойств пределов функции, установленных на прошлой лекции.

Докажем, например, непрерывность функции произведения f · g функций f и g. Согласно cвойств пределов функций, имеем

lim _x→x0 (f · g)(x) = lim _x→x0 f (x) lim _x→x0 g(x) = f (x0)g(x0),

ибо пределы lim_x→x0 f (x) и lim_x→x0 g(x) существуют и равны в силу непрерывности f и g в точке x0 равны соответственно f (x0) и g(x0). Теперь выполнение доказанного выше равенства и означает непрерывность функции f · g в точке x0

Непрерывность сложной функции в точке

Теорема о непрерывности сложной функции в точке

Пусть функция y = f (x) непрерывна в точке x0, а функция z = F(y) непрерывна в точке y0 = f (x0). Тогда сложная функция или суперпозиция функций F[f (x)] непрерывна в точке x0.

Короче, но менее точно: непрерывная функция от непрерывной функции является непрерывной функцией.

Замечание.

Следует обратить внимание на то, что в теореме утверждается непрерывность сложной функции F[f (x)] в точке x0, а поскольку непрерывность функции в некоторой точке предполагает согласно определению 1 непрерывности функции в точке, что эта функция определена в некоторой окрестности точки x0.

Правило замены переменного для пределов непрерывных функций

Утверждение теоремы можно записать в виде формулы

lim _x→x0 F[f (x)] = F[ lim _x→x0 f (x)],

из которой видно, что операция предельного перехода перестановочна с операцией предельного перехода у непрерывной функцией.

В самом деле, левая часть предыдущего равенства равна F[f (x0)] согласно утверждению теоремы, правая часть также равна F[f (x0)] в силу непрерывности функции f (x) в точке x0.

При отыскании пределов непрерывных функций теорему о непрерывности сложной функции в точке удобно использовать в ещё в одном виде, в виде следующего правила

Правило замены переменного для пределов непрерывных функций

lim _x→x0 F[f (x)] = lim _y→y0 F(y), y = f (x).

Еще пару свойств функций, непрерывных в точке

Замечание.

Теорема о непрерывности сложной функции в точке переносится и на случай односторонней непрерывности.

Свойство 1. Если f : (a, b) → R и g : (a, b) → R непрерывны в точке x0 ∈ (a, b) и f (x) ≥ g(x) для всех x ∈ (a, b)\{x0}, то и в точке x0 верно это неравенство f (x0) ≥ g(x0).

Свойство 2. Если f : (a, b) → R непрерывна в точке x0 ∈ (a, b), то существует такой открытый интервал (c, d) ⊂ (a, b) , содержащий точку x0, на котором функция f будет ограниченной.