Производная и дифференциал функции. Уравнение касательной прямой.

Производная

Определение производной

Пусть функция y = f (x) определена в некоторой окрестности точки x₀ и пусть x — некоторая точка этой окрестности. Если отношение

имеет предел при x → x0, то этот предел называется производной функции f в точке x₀ и обозначается f ‘ (x₀):

f ’(x₀) = .

Если ввести обозначение ∆x = x − x₀, которое мы ранее уже вводили и называли приращением аргумента, то предыдущую формулу из определения, используя новую переменную ∆x, можно переписать в виде

f ’(x₀) =

Функция имеет производную?

Полагая далее ∆y = f (x₀ + ∆x) − f (x₀) в качестве ещё одной новой переменой, которую мы ранее называли приращением функции, получим ещё одну запись определения производной, опуская обозначения аргумента функции x₀ и обозначая производную символом y’ :

y ‘ = lim_∆x→0 ∆y/∆x .

Односторонние производные

Определение производной справа и производной слева

Если функция y = f (x) определена в правосторонней (левосторонней) окрестности точки x₀ и существует конечный или бесконечный предел

lim_∆x→+0 (lim_∆x→−0 ),

то он называется соответственно конечной или бесконечной производной справа (слева) в точке x₀ и обозначается f’₊(x₀) (или f ‘₋(x₀)). Правая и левая производные называются односторонними производными.

Утверждение.

Из теоремы об односторонних пределах следует, что функция y = f (x), определенная в некоторой окрестности точки имеет производную f 0 () тогда и только тогда, f’₊(x₀) и f ‘₋(x₀) существуют и f’₊(x₀) = f ‘₋(x₀). В этом случае f’(x₀) = f’₊(x₀) = f ‘₋(x₀).

Производная как функция!

Когда производная функция?

Если функция y = f (x) определена на некотором промежутке X и в каждой его точке x ∈ X существует производная (причём под производной в конце промежутка, который принадлежит промежутку, естественно понимается соответствующая односторонняя производная), то эта производная f ‘ (x) есть, очевидно, также функция y = f ‘ (x), определенная на данном промежутке.

Операция дифференцирования

Определение.

Операция вычисления производной от функции называется о п е р а ц и е й д и ф ф е р е н ц и р о в а н и я.

Дифференциал

Определение.

Пусть функция y = f (x) определена в некоторой окрестности точки x0, если её приращение в этой точке

∆y = f (x0 + ∆x) − f (x0), ∆x = x − x0

представимо в виде

∆y = A∆x + α(∆x),

где A — постоянная (при фиксированной точке x0 A есть некоторое число, не зависящее от ∆x; конечно, при изменении точки x0 число A, вообще говоря, меняется) и

α(∆x) = o(∆x) при ∆x → 0.

Линейная функции A∆x (от ∆x) называется д и ф ф е р е н ц и а л о м ф у н к ц и и y = f (x) в точке x0 и обозначается df (x0) или, короче, dy.

Замечания

1. Из определения дифференциала имеем ещё две формулы

dy = A∆x, ∆y = dy + o(∆x).

2. Заметим, что дифференциал функции dy = A∆x, как и всякая линейная функция, определен для любого значения ∆x: −∞ < ∆x < +∞, в то время как приращение функции ∆y = f (x0 + ∆x) − f (x0), естественно, можно рассматривать только для таких ∆x, для которых x0 + ∆x принадлежит области определения функции y = f (x).

3. Если A 0, то есть если dy 0, то дифференцируемость функции в точке x0 означает, что с точностью до бесконечно малых более высокого порядка, чем приращение ∆x, приращение функции ∆y является линейной функцией от ∆x. Иначе можно сказать, что главная часть приращения функции ∆y в точке x0 является линейной функцией относительно ∆x. При этом приращение ∆y и дифференциал dy являются эквивалентными бесконечно малыми при ∆x → 0.

4. Если же A = 0, то есть dy ≡ 0, то ∆y = o(∆x) при ∆x → 0. Таким образом, при A = 0 приращение ∆y является бесконечно малой более высокого порядка, чем ∆x при ∆x → 0.

5. Для большей симметрии записи дифференциала приращение ∆x обозначают dx и называют его дифференциалом независимого переменного. Таким образом, дифференциал можно записать в виде

dy = Adx Вывод. Итак, усли функция y = f (x) дифференцируема в точке x0, то с точностью до бесконечно малых более высокого порядка, чем x − x0, она равна линейной функции; иначе говоря, в этом случае функция y = f (x) в окрестности точки x0 ведет себя “почти как линейная функция”

y0 + A(x − x0)

причём погрешность при замене функции f (x) этой линейной функцией будет тем меньше, чем меньше разность x − x0, и, более того, отношение этой погрешности к разности x − x0 стремиться к нулю при x → x0.

Теорема о связи между дифференцируемостью функции в точке и производной в этой же точке.

Для того чтобы функция y = f (x) была дифференцируема в некоторой точке x0, необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке производную f '(x0), при этом справедливо равенство

dy = f‘(x0) dx

УРАВНЕНИЕ КАСАТЕЛЬНОЙ

Теорема существования касательной.

Пусть функция y = f (x) непрерывна при x = x0. В точке (x0, f (x0)) существует наклонная касательная к графику функции y = f (x) тогда и только тогда, когда функция y = f (x) имеет в точке x0 производную (или, что равносильно, когда она дифференцируема в точке x0). При этом уравнение касательной имеет вид

y = f‘(x0)(x − x0) + y0, где y0 = f (x0),

и, значит, производная в точке x0 равна тангенсу угла наклона касательной к оси OX, а дифференциал в точке x0 равен приращению ординаты касательной

Соответственно в точке (x0, y0) вертикальные касательная к графику функции y = f (x) тогда и только тогда, когда в точке x0 функция имеет бесконечную производную, причем в этом случае уравнение касательной имеет вид

x = x0