Провести полное исследование функции и построить её график.

1) Область определения:

2) Непериодическая. Проверим на четность-нечетность:

Значит, функция четная.

3) Найдем точки пересечения с осями координат.

График пересекает ось Y в том случае, когда x=0 => , т.е. график пересекает ось Y в точке (0;1).

График пересекает ось X в том случае, когда y=0 => . Это уравнение не имеет решения, т.е. график не пересекает ось X .

4. Найдем интервалы знакопостоянства:

Это неравенство верно для любого x. Значит, на всем промежутке.

5. Найдем асимптоты.

Вертикальные асимптоты: Вертикальных асимптот нет.

Наклонные асимптоты:

Значит, прямая y=0 – горизонтальная асимптота.

6. Найдем интервалы монотонности и экстремумы функции, исследуя первую производную:

Отсюда видно, что при x=0 функция имеет максимум, убывает на (0;+) и и возрастает на (

7. Чтобы определить интервалы выпуклости и точки перегиба, вычислим вторую производную:

БИЛЕТ №14

1. Непрерывные функции и классификация точек разрыва.

Непрерывные функции.

Непрерывная функция — функция без “скачков”, то есть такая, у которой малые изменения аргумента приводят к малым изменениям значения функции. Непрерывная функция, вообще говоря, синоним понятия непрерывное отображение, тем не менее чаще всего этот термин используется в более узком смысле — для отображений между числовыми пространствами, например, на действительной или вещественной прямой R. Эта лекция посвящена именно непрерывным функциям, определённым на подмножестве действительных или вещественных чисел R и принимающим действительные или вещественные значения R.

Всего 6 определений непрерывной функции:

Определение 1. Функция f , определенная на (a, b), называется непрерывной в точке x0 ∈ (a, b), если

lim_x→x0 f (x) = f (x0).

Определение 2 или определение Гейне. Функция f , определенная на (a, b), называется непрерывной в точке x0 ∈ (a, b), если для любой последовательности x_n ∈ (a, b) n = 1, 2, . . ., такой, что

lim _n→∞ x_n = x0

последовательность {f (x_n)} сходится и

lim _n→∞ f (x_n) = f (x0).

Определение 3. Функция f , определенная на (a, b), называется непрерывной в точке x0 ∈ (a, b), если для любого ε > 0 найдется δ = δ(ε) > 0 такое, что для всех x ∈ (a, b), для которых выполняется неравенство

|x − x0| < δ,

следует выполнение неравенства

|f (x) − f (x0)| < ε

Заметим, что как во втором, так и третьем определении непрерывности функции в точке, мы не запрещаем последовательности xn или переменной x принимать значение x0 как это было в случае определения предела последовательности или предела функции.

Почему это стало возможным?

Запись непрерывности функции в точке в кванторах математической логики

Функция непрерывна в точке x0 ∈ (a, b) ⊂ R, если в близких к x0 точках она принимает близкие к f (x0) значения.

Формально говоря, функция f : (a, b) → R, определённая на некотором открытом интервале (a, b) ⊂ R, непрерывна в точке x0 ∈ (a, b), если для всякого ε > 0 найдётся δ > 0 с таким свойством: во всякой точке x ∈ (a, b), отстоящей от x0 менее чем на δ, значение f (x) отличается от f (x0) менее чем на ε.

Используя математическую логику, определение непрерывности функции в точке записывается следующей формулой:

(∀ε > 0)(∃δ > 0)(∀x ∈ (a, b))[(|x − x0| < δ) ⇒ |f (x) − f (x0)| < ε].

Определение 4. Функция f , определенная на (a, b), называется непрерывной в точке x0 ∈ (a, b), если для любой окрестности O(f (x0), ε) значения f (x0) функции f в точке x0, регулируемой числом ε > 0, найдется такая окрестность O(x0, δ) точки x0, регулируемой числом δ = δ(ε) > 0, что выполняется условие f (O(x0, δ)) ⊂ O(f (x0), ε), то есть функция f преобразует окрестность O(x0, δ) в подмножество окрестности O(f (x0), ε).

Или, что равносильно, прообраз f −1 (O(f (x0), ε)) содержит окрестность O(x0, δ).

Здесь, напомним,

O(f (x0), ε) = (f (x0) − ε, f (x0) + ε);

O(x0, δ) = (x0 − δ, x0 + δ)

Определение 5. Функция f , определенная на (a, b), называется непрерывной в точке x0 ∈ (a, b), если

lim_x→x0+0 f (x) = lim _x→x0−0 f (x) = f (x0).

Определение 6. Функция y = f (x), определенная на (a, b), называется непрерывной в точке x0 ∈ (a, b), если

lim_∆x→0 ∆y = 0.

Непрерывность функции в точке слева и справа

Пусть функция f определена справа от точки x0 на полуоткрытом справа интервале [x0, b).

Определение непрерывности функции справа

Функция f , определенная на [x0, b), называется непрерывной справа в точке x0, если

lim _x→x0+0 f (x) = f (x0).

Пусть функция f определена слева от точки x0 на полуоткрытом слева интервале (a, x0].

Определение непрерывности функции слева

Функция f , определенная на (a, x0], называется непрерывной слева в точке x0, если

lim _x→x0−0 f (x) = f (x0).

Классификация точек разрыва.

Пусть теперь функция f определена на интервале (a, b), кроме, может быть точки x0 ∈ (a, b).

Определение точки разрыва функции

Точка x0 называется точкой разрыва функции f , если функция f не определена в точке x0, или если она определена в этой точке, но не является в ней непрерывной.

Определение точки разрыва первого рода

Если x0 — точка разрыва функции f и существуют конечные пределы

f (x0 − 0) = lim _x→x0−0 f (x) и f (x0 + 0) = lim _x→x0+0 f (x),

то точка x0 называется точкой разрыва первого рода.

Величина f (x0 + 0) − f (x0 − 0) называется скачком функции f первого рода функции f .

Устранимый разрыв

Определение точки устранимого разрыва

Если f (x0 + 0) = f (x0 − 0), то точка x0 называется точкой устранимого разрыва.

Последнее оправдано тем, что если в этом случае видоизменить или доопределить (если функция f не была определена в точке x0) функцию f , положив

f (x0) = lim _x→x0−0 f (x) = lim _x→x0+0 f (x),

то получится непрерывная в точке x0 функция.

Определение точки разрыва функции второго рода

Точка разрыва x0 функции f , не являющая точкой разрыва первого рода, называется точкой разрыва функции второго рода.

Очевидно, что в точках разрыва функции второго рода по крайней мере один из пределов f (x0 − 0) = lim_x→x0−0 f (x) и f (x0 + 0) = lim_x→x0+0 f (x) не существует либо один из них или оба равны бесконечности

2.Сравнение функций.

Три способа сравнения функций

Речь пойдет о поведении двух функций f (x) и g(x) в окрестности x0, то есть речь пойдет о локальном сравнении функций.

Способ 1 — функции одного порядка.

Первый способ символически записывается в виде формулы f (x) = O(g(x)).

И означает, что |f (x)| ≤ c|g(x)| при |x − x0| < δ, x 6= x0, где c — некоторая константа.

Способ 2 — эквивалентные функции.

Второй способ символически записывается в виде формулы f (x) ∼ g(x).

Способ 3 — f бесконечно малая функция по отношению к g.

Третий способ символически записывается в виде формулы f (x) = o(g(x)).

И означает, что

f (x) = ε(x)g(x)

где limx→x0 ε(x) = 0. Подробности на следующих слайдах.

3.Найти производную функции .

Воспользуемся формулой:

(нашел в учебнике)

(Проверял на калькуляторе – сошлось)

БИЛЕТ №15