1. Метрические пространства.

Метрическим пространством называется множество Х, любым двум элементам (точкам) х,у которого сопоставлено число (х,у), удовлетворяющее следующим условиям:

1) Неотрицательность: (х,у)  0, причем условие (х,у) = 0 равносильно тому, что х = у. Это означает, что расстояние между различными точками положительное.

2) Симметричность: (х,у) = (у,х).

3) Неравенство треугольника: (х,у)  (х,z)+(z,у). Это неравенство обобщает известное правило: сумма длин двух сторон треугольника не меньше третьей.

Функция  называется метрикой или расстоянием.

Из неравенства треугольника вытекает полезное обратное неравенство треугольника:  (х,z)(z,у)  (х,у), которое для плоских треугольников известно из школьного курса геометрии.

Любое множество Y  X можно считать наделенным метрикой . Оно называется подпространством X.

Точка х₀ называется пределом последовательности {х_n}, если числовая последовательность (х_n,х₀) является бесконечно малой (стремится к 0). Или точка х₀ называется пределом последовательности {х_n}, если  > 0 N n > N выполняется неравенство (х_n,х₀) < .

Обозначения: х_nх₀, lim х_n = х₀.Последовательность, у которой существует предел, называется сходящейся.

Мы будем пользоваться понятием подпоследовательности. Если {х_n} – последовательность в метрическом пространстве и n₁<n₂<…<n_k<… - натуральные числа, то последовательность называется подпоследовательностью {х_n}.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1. Для сходимости последовательности необходима и достаточна сходимость всех ее подпоследовательностей. При этом все они имеют один и тот же предел.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2. Если последовательность в метрическом пространстве сходится, то ее предел единственный.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3. Если последовательность {х_n} в метрическом пространстве Х сходится, то для любой точки аХ числовое множество {(а,х_n)} ограничено.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Пусть a Х, r > 0. Шаром B радиуса r с центром в точке a называется множество точек, удаленных от a меньше, чем на r, т.е. B(a,r) = {xХ:(a, x) < r}.

Аналогично определяется замкнутый шар (a,r) = {xХ:(a,x)  r}. Шары с центром a мы будем называть также окрестностями точки a. Далее мы будем использовать то обстоятельство, что в любой окрестности точки a помещаются шары B(a,1/n) при достаточно больших n.

Утверждение х_nх₀ равносильно тому, что в любую окрестность точки х₀ попадают все члены последовательности, начиная с некоторого.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Множество в метрическом пространстве Х называется ограниченным, если оно расположено в некотором шаре.

1. Yandex.RTB R-A-252273-3
   Содержание

   • 1. Метрические пространства.
   • Некоторые важные неравенства
   • Замыкания множеств. Замкнутые и открытые множества.
   • Непрерывные отображения
   • Полные метрические пространства
   • Компактные метрические пространства
   • Линейные нормированные пространства
   • Изоморфные и изометричные линейные нормированные пространства
   • Гильбертовы пространства
   • Линейные операторы
   • Сопряженные пространства и слабая сходимость
   • Три фундаментальные теоремы функционального анализа

   Yandex.RTB R-A-252273-4