Линейные операторы

Пусть X,Y – линейные нормированные пространства. Понятие линейного оператора А: XY означает справедливость тождеств А(x₁+x₂) = А(x₁) + А(x₂), А(x) = А(x). Нас будут интересовать непрерывные линейные операторы. Их множество будем обозначать символом L(X,Y). В этом пункте в частности будет установлено, что L(X,Y) можно наделить структурой линейного нормированного пространства. Приведем несколько примеров.

1. Рассмотрим квадратную матрицу А = (а_ij) (i=1,2,…,n; j=1,2,…,n). Рассмотрим отображение А: , действующее по правилуА(х₁,…,х_n) = . Из свойств матриц и векторов следует линейность оператора А. Напомним что сходимость в пространстве покоординатная, т.е.х⁽ⁿ⁾х⁽⁰⁾, если приi=1,…,n. Отсюда следует, что А(х⁽ⁿ⁾)  А(х⁽⁰⁾), т.е. оператор А непрерывный. Обратно, любое линейное отображение А:  порождается некоторой матрицейА и автоматически является непрерывным.

2. Пусть K(t,s) функция, непрерывная на квадрате 0  t  1, 0  s  1. Сопоставим функции х(t) C функцию y(s) =Функцияy(s) непрерывная, т.е. y(s) C. Тем самым определен оператор A: CC. Его линейность следует из свойств интеграла. Далее, если (х₁,х₂) = maxх₁(t) х₂(t)<, то y₁(t)y₂(t)

Это неравенство означает, что рассматриваемый оператор непрерывный. Такой оператор называется интегральным с ядром K(t,s).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 20. Линейный оператор А: X  Y называется ограниченным, если существует такое положительное число Р, что ||Аx||  Р||x||. Здесь ||Аx||  норма элемента в пространстве Y, ||x||  норма элемента в пространстве X.

ТЕОРЕМА 13. Ограниченность линейного оператора равносильна его непрерывности.

Удивительно, что множество линейных непрерывных операторов L(X,Y) можно наделить структурой линейного нормированного пространства.

Если А,B  L(X,Y), то суммой А+B линейных операторов называется оператор, действующий по правилу (А+B)(х) = Ах +Bх.

Если АL(X,Y), R, то произведением оператора на число называется оператор (А)(х) = (Ах). Поскольку в пространстве Y выполняются аксиомы линейного пространства, то множество L(X,Y) с введенными операциями является линейным пространством. Нулевым является оператор 0(х) = 0 для всех х.

Определим норму оператора как . Поскольку оператор ограниченный, то ||Аx||  Р||x|| при некотором Р, откуда число Р является верхней гранью множества {||Аx||: ||x||  1}, т.е. по теореме о точной верхней грани норма определена.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 19. Определенная функция действительно является нормой.

Поскольку множество линейных непрерывных отображений имеет структуру линейного нормированного пространства, к нему применимы все результаты предыдущего раздела. Пример:

ТЕОРЕМА 14. Если Y – банахово пространства, то и пространство L(X,Y) банахово.