Полные метрические пространства

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 9. Последовательность {x_n} в метрическом пространстве называется фундаментальной, если >0 N n>N p (x_n x_n+p)<. Это означает, что элементы последовательности с достаточно большими номерами сколь угодно близки.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 6. Если последовательность {x_n} сходится, то она фундаментальная. Обратное утверждение в общем случае неверно.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 10. Метрическое пространство Х называется полным, если любая фундаментальная последовательность в нем сходится.

Пример неполного метрического пространства: Х = (0,1) с обычным расстоянием (x,y)=xy, x_n = 1/n. Поскольку эта последовательность сходится в метрическом пространстве всех вещественных чисел, она является фундаментальной. Ее предел равен 0, поскольку 0Х, то пространство Х полным не является.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 7. Замкнутое подпространство Y полного метрического пространства X является полным.

Конечномерные метрические пространства являются полными. ПространствоС - полное. Дискретное метрическое пространство является полным, поскольку члены любой фундаментальной последовательности совпадают, начиная с некоторого, т.е. такая последовательность сходится.

Пространство L^p_с полным не является. Ограничимся примером, оставляя подробный анализ читателю. Рассмотрим функции

(п=3,4,…. ).

Отметим, что пространства m,c.l^p являются полными.

ТЕОРЕМА 1. Вложенная последовательность замкнутых шаров, радиусы которых стремятся к 0, в полном метрическом пространстве имеет единственную общую точку. Обратно, если любая такая последовательность шаров имеет общую точку, то пространство полное.Следует отметить, что для открытых шаров теорема несправедлива (например, пересечение интервалов пустое).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 11. Отображение A:XX метрического пространства X в себя называется сжимающим, если при некотором числе (0,1) для любых точек x,yX выполняется неравенство (Ax,Ay)  (x,y).

ТЕОРЕМА 2. (Принцип сжатых отображений). Если A – сжимающее отображение в полном метрическом пространстве X, то существует единственная неподвижная точка y отображения A, т.е. такая, что Ay=y.