Непрерывные отображения

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 7. Пусть Х, Y – метрическое пространство. Отображение f: ХY называется непрерывным в точке aХ, если из того, что х_na следует, что f(х_n) f(a). Отображение называется непрерывным на Х, если оно непрерывно во всех точках Х.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 5. Для того чтобы отображение было непрерывным на Х, необходимо и достаточно, чтобы прообраз каждого открытого подмножества Y было открытым подмножеством Х.

Аналогично, отображение является непрерывным тогда и только тогда, когда прообраз всякого замкнутого множества является замкнутым. При этом образ открытого множества при непрерывном отображении может не быть открытым, а образ замкнутого множества замкнутым. Например, образом открытого множества (1,1) при отображении y = x² является множество [0,1), которое открытым не является.

Из того, что образ всякого открытого множества открыт, не следует непрерывность отображения. Например, рассмотрим отображение f отрезка [1,1] в двухточечное дискретное пространство {a,b} (п. Error: Reference source not found), действующее по правилу f[1,0] = {a}, f(0,1] = {b}. Поскольку в дискретном пространстве любое множество является открытым, то образ любого открытого множества открытый. Непрерывным отображение не является, поскольку 1/n0, но неверно, что f(1/n) = bf(0) = a.

Cуперпозиция непрерывных отображений является непрерывным отображением. При этом если у непрерывного отображения существует обратное, то оно не обязано быть непрерывным.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 8. Отображение f: ХY называется топологическим или гомеоморфизмом, если оно непрерывное, биективное и обратное отображение также непрерывное.

3. Yandex.RTB R-A-252273-3
   Содержание

   • 1. Метрические пространства.
   • Некоторые важные неравенства
   • Замыкания множеств. Замкнутые и открытые множества.
   • Непрерывные отображения
   • Полные метрические пространства
   • Компактные метрические пространства
   • Линейные нормированные пространства
   • Изоморфные и изометричные линейные нормированные пространства
   • Гильбертовы пространства
   • Линейные операторы
   • Сопряженные пространства и слабая сходимость
   • Три фундаментальные теоремы функционального анализа

   Yandex.RTB R-A-252273-4