Антикоммутативность: .

Доказательство:

Положим , . По определению векторы и имеют одинаковую длину. Также в силу того, что оба вектора и ортогональны к плоскости, определяемой векторами и , вектор коллинеарен вектору . Тогда либо , либо . Если бы имело место первое равенство, то по определению, обе тройки , , и , , оказались бы правыми, но это невозможно. Итак, . ■

2. Однородность: .

Доказательство:

Положим , . Пусть векторы и не коллинеарные и . Обозначим и . По определению , .

Возможны два случая:

В обоих случаях , тогда . Далее, заметим, что векторы и коллинеарные. Остаётся проверить, что эти векторы имеют одинаковое направление.

Пусть , тогда векторы , а значит и векторы . Итак, . ■

3. Содержание

   • Вопросы 1й семестр 1 курс
   • Высказывания. Дизъюнкция. Конъюнция, импликация. Типы теорем. Доказать дизъюнктивную форму импликации. Доказать принцип контрапозиции.
   • 1. 3.1. Высказывания
   • Понятие вектора. Линейная зависимость и линейная независимость векторов. Доказать теоремы о линейной зависимости.
   • Вектор (Гиббс) – математический объект, характеризуемый скалярной величиной, направлением и геометрическим характером сложения.
   • Доказать существование и единственность разложения по базису на плоскости и в пространстве.
   • Доказательство:
   • Скалярное произведение. Доказать его свойства.
   • Свойства скалярного произведения:
   • Дистрибутивность: .
   • Векторное произведение. Доказать его свойства.
   • Свойства векторного произведения:
   • Антикоммутативность: .
   • Дистрибутивность:
   • Смешанное произведение. Доказать критерий компланарности векторов.
   • Получить уравнение плоскости и прямой в пространстве.
   • Определение эллипса. Доказать его свойства.
   • Свойства эллипса
   • Доказательство:
   • Определение гиперболы. Доказать ее свойства.
   • Свойства гиперболы
   • Определение параболы. Доказать ее свойства.
   • Свойства параболы
   • Повехности второго порядка. Полчить уравнения цилиндрических поверхностей и поверхностей вращения.
   • 3. Двуполостной гиперболоид:
   • Цилиндрические поверхности
   • 9 . Гиперболический параболоид
   • Алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы комплексного числа. Получить формулу Муавра и формулу извлечения корня n-ой степени из комплексного числа.
   • Решение:
   • Основная теорема алгебры. Доказать ее следствия.
   • Доказательство:
   • Доказательство леммы:
   • Доказательство:
   • Числовые множества, замкнутость. Показать непрерывность действительной оси. Понятие твг и тнг.
   • Бмп. Доказать свойства бмп.
   • Предел числовой последовательности. Доказать единственность предела последовательности.
   • Последовательности бывают:
   • Бмп (бесконечно малые последовательности);
   • 3. Неограниченные;
   • Пример. Последовательность ограничена, но не является бмп.
   • Показать существование предела последовательности Бернулли. Число e.
   • Доказать принципы компактности и полноты.
   • Доказать основные теоремы о пределах.
   • Доказать существование первого замечательного предела.
   • Доказать существование второго замечательного предела.
   • Непрерывность функции. Доказать критерий непрерывности.
   • Сравнение функции в окрестности точки. Доказать формулы эквивалентности.
   • Производная функции (определение. Геометрический и физический смысл). Доказать правила дифференцирования.
   • Доказать теоремы о производной композиции функции, производная обратной функции и производной функции, заданной параметрически.
   • Доказать формулы для производных основных элементарных функций.
   • Дифференциал функции. Геометрический смысл производной и дифференциала.
   • Геометрический смысл дифференциала
   • Дифференциал функции
   • Физический смысл дифференциала
   • Первообразная и неопределенный интеграл. Доказать свойства неопределенного интеграла.
   • Доказать теоремы Лагранжа, Коши и Лопиталя.
   • Доказать формулу Тейлора.
   • Монотонность и экстремумы функции. Доказать необходимое и достаточное условие.
   • Выпуклость функци. Доказать необходимое и дотаточное условие для точки перегиба функции.
   • Конструкция определенного интеграла Римана.
   • Доказать свойства определенного интеграла и формулу Ньютона-Лейбница. Не Формула Ньютона-Лейбница
   • Несобственные интегралы первого рода. Признаки сходимости.
   • Несобственные интегралы второго рода. Признаки сходимости.