Производная функции (определение. Геометрический и физический смысл). Доказать правила дифференцирования.
Определение производной
Определение 1. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . Тогда если существует предел отношения приращения функции к приращению аргумента при , то он называется производной функции в точке :
.
Геометрический смысл производной
Заметим, что в – угол наклона хорды , где , а б - угла наклона касательной, проведенной к графику функции . Если , то . Это значит, что . Таким образом, значение производной функции в точке равно тангенсу угла наклона касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой .
Правила дифференцирования
Теорема 1. Пусть и - дифференцируемые функции в точке . Тогда:
;
;
, причем в некоторой окрестности точки .
Доказательство:
Докажем третье утверждение данной теоремы. Для этого рассмотрим приращение:
.
Найдем предел:
. Таким образом, . ■
Теорема 2.Пусть функция дифференцируема в точке и биективна (т.е. наша функция имеет обратную функцию ). Тогда обратная функция дифференцируема в точке , причем .
Доказательство:
Рассмотрим приращение функции , т.е. . Тогда .
Так как функция дифференцируема в точке , то она непрерывна в этой точке, следовательно, малому приращению аргумента соответствует малое приращение функции . ■
Замечание. Геометрический смысл производной обратной функции (рисунок)
Так как , где - угол наклона касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой , то .
Замечание. Если растет быстрее в раз, то отстает на раз.
Теорема 3. Пусть функция дифференцируема в некоторой точке , а функция дифференцируема в точке , которая является образом точки . Тогда функция дифференцируема в точке , причем .
Доказательство:
По условию функция дифференцируема в точке , т.е. . Тогда, используя дифференцируемость функции в точке , получим . Подставим в : .
Найдем предел . ■
Определение 1. Пусть . Говорят, что линия на плоскости задана параметрически, если ее точки имеют координаты . Таким образом, параметрическое задание данной линии равносильно ее явному заданию .
Теорема 4. Пусть функции дифференцируемы в точке , тогда функция дифференцируема в точке , причем .
Доказательство:
Рассмотрим ,
. По условию функция дифференцируема в точке , следовательно, непрерывна в этой точке, значит, бесконечно малому соответствует бесконечно малое .
Таким образом, . ■
- Вопросы 1й семестр 1 курс
- Высказывания. Дизъюнкция. Конъюнция, импликация. Типы теорем. Доказать дизъюнктивную форму импликации. Доказать принцип контрапозиции.
- 1. 3.1. Высказывания
- Понятие вектора. Линейная зависимость и линейная независимость векторов. Доказать теоремы о линейной зависимости.
- Вектор (Гиббс) – математический объект, характеризуемый скалярной величиной, направлением и геометрическим характером сложения.
- Доказать существование и единственность разложения по базису на плоскости и в пространстве.
- Доказательство:
- Скалярное произведение. Доказать его свойства.
- Свойства скалярного произведения:
- Дистрибутивность: .
- Векторное произведение. Доказать его свойства.
- Свойства векторного произведения:
- Антикоммутативность: .
- Дистрибутивность:
- Смешанное произведение. Доказать критерий компланарности векторов.
- Получить уравнение плоскости и прямой в пространстве.
- Определение эллипса. Доказать его свойства.
- Свойства эллипса
- Доказательство:
- Определение гиперболы. Доказать ее свойства.
- Свойства гиперболы
- Определение параболы. Доказать ее свойства.
- Свойства параболы
- Повехности второго порядка. Полчить уравнения цилиндрических поверхностей и поверхностей вращения.
- 3. Двуполостной гиперболоид:
- Цилиндрические поверхности
- 9 . Гиперболический параболоид
- Алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы комплексного числа. Получить формулу Муавра и формулу извлечения корня n-ой степени из комплексного числа.
- Решение:
- Основная теорема алгебры. Доказать ее следствия.
- Доказательство:
- Доказательство леммы:
- Доказательство:
- Числовые множества, замкнутость. Показать непрерывность действительной оси. Понятие твг и тнг.
- Бмп. Доказать свойства бмп.
- Предел числовой последовательности. Доказать единственность предела последовательности.
- Последовательности бывают:
- Бмп (бесконечно малые последовательности);
- 3. Неограниченные;
- Пример. Последовательность ограничена, но не является бмп.
- Показать существование предела последовательности Бернулли. Число e.
- Доказать принципы компактности и полноты.
- Доказать основные теоремы о пределах.
- Доказать существование первого замечательного предела.
- Доказать существование второго замечательного предела.
- Непрерывность функции. Доказать критерий непрерывности.
- Сравнение функции в окрестности точки. Доказать формулы эквивалентности.
- Производная функции (определение. Геометрический и физический смысл). Доказать правила дифференцирования.
- Доказать теоремы о производной композиции функции, производная обратной функции и производной функции, заданной параметрически.
- Доказать формулы для производных основных элементарных функций.
- Дифференциал функции. Геометрический смысл производной и дифференциала.
- Геометрический смысл дифференциала
- Дифференциал функции
- Физический смысл дифференциала
- Первообразная и неопределенный интеграл. Доказать свойства неопределенного интеграла.
- Доказать теоремы Лагранжа, Коши и Лопиталя.
- Доказать формулу Тейлора.
- Монотонность и экстремумы функции. Доказать необходимое и достаточное условие.
- Выпуклость функци. Доказать необходимое и дотаточное условие для точки перегиба функции.
- Конструкция определенного интеграла Римана.
- Доказать свойства определенного интеграла и формулу Ньютона-Лейбница. Не Формула Ньютона-Лейбница
- Несобственные интегралы первого рода. Признаки сходимости.
- Несобственные интегралы второго рода. Признаки сходимости.