Получить уравнение плоскости и прямой в пространстве.

Л юбая плоскость задаётся своей нормалью (вектором, ортогональным данной плоскости) и точкой , лежащей на этой плоскости.

Базовая задача:

Возьмём произвольную точку . Вектор лежит на плоскости . Так как , то . Тогда . Раскрывая скобки, получим . Обозначим . Тогда уравнение называют общим уравнением плоскости.

Уравнение прямой

1. Если на плоскости задана некоторая система координат, то прямую можно провести через точку перпендикулярно вектору , называемого

нормалью к данной прямой. Тогда, выбрав произвольную точку так, чтобы векторы и были перпендикулярны, получим уравнение прямой :

, .

Обозначим через . Тогда уравнение называется общим уравнением прямой .

2. Проведём прямую через точку параллельно вектору , который называют направляющим вектором прямой . Выберем произвольную точку так, чтобы векторы и были коллинеарными. Тогда – каноническое уравнение прямой.

Из последнего уравнения также можно получить общее уравнение прямой , заметив, что векторы и перпендикулярны, причём , .

Другие уравнения прямой:

Теперь проведём прямую через точки и . В ыберем произвольную точку так, чтобы векторы и были коллинеарными. Тогда уравнение задаёт прямую , проходящую через точки и .

Преобразуем последнее равенство:

; . Тогда уравнение также задаёт прямую , где:

- угловой коэффициент, причём ( - угол наклона прямой к оси );

- свободный коэффициент, равный длине отрезка, отсекаемого прямой от оси .

8. Содержание

   • Вопросы 1й семестр 1 курс
   • Высказывания. Дизъюнкция. Конъюнция, импликация. Типы теорем. Доказать дизъюнктивную форму импликации. Доказать принцип контрапозиции.
   • 1. 3.1. Высказывания
   • Понятие вектора. Линейная зависимость и линейная независимость векторов. Доказать теоремы о линейной зависимости.
   • Вектор (Гиббс) – математический объект, характеризуемый скалярной величиной, направлением и геометрическим характером сложения.
   • Доказать существование и единственность разложения по базису на плоскости и в пространстве.
   • Доказательство:
   • Скалярное произведение. Доказать его свойства.
   • Свойства скалярного произведения:
   • Дистрибутивность: .
   • Векторное произведение. Доказать его свойства.
   • Свойства векторного произведения:
   • Антикоммутативность: .
   • Дистрибутивность:
   • Смешанное произведение. Доказать критерий компланарности векторов.
   • Получить уравнение плоскости и прямой в пространстве.
   • Определение эллипса. Доказать его свойства.
   • Свойства эллипса
   • Доказательство:
   • Определение гиперболы. Доказать ее свойства.
   • Свойства гиперболы
   • Определение параболы. Доказать ее свойства.
   • Свойства параболы
   • Повехности второго порядка. Полчить уравнения цилиндрических поверхностей и поверхностей вращения.
   • 3. Двуполостной гиперболоид:
   • Цилиндрические поверхности
   • 9 . Гиперболический параболоид
   • Алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы комплексного числа. Получить формулу Муавра и формулу извлечения корня n-ой степени из комплексного числа.
   • Решение:
   • Основная теорема алгебры. Доказать ее следствия.
   • Доказательство:
   • Доказательство леммы:
   • Доказательство:
   • Числовые множества, замкнутость. Показать непрерывность действительной оси. Понятие твг и тнг.
   • Бмп. Доказать свойства бмп.
   • Предел числовой последовательности. Доказать единственность предела последовательности.
   • Последовательности бывают:
   • Бмп (бесконечно малые последовательности);
   • 3. Неограниченные;
   • Пример. Последовательность ограничена, но не является бмп.
   • Показать существование предела последовательности Бернулли. Число e.
   • Доказать принципы компактности и полноты.
   • Доказать основные теоремы о пределах.
   • Доказать существование первого замечательного предела.
   • Доказать существование второго замечательного предела.
   • Непрерывность функции. Доказать критерий непрерывности.
   • Сравнение функции в окрестности точки. Доказать формулы эквивалентности.
   • Производная функции (определение. Геометрический и физический смысл). Доказать правила дифференцирования.
   • Доказать теоремы о производной композиции функции, производная обратной функции и производной функции, заданной параметрически.
   • Доказать формулы для производных основных элементарных функций.
   • Дифференциал функции. Геометрический смысл производной и дифференциала.
   • Геометрический смысл дифференциала
   • Дифференциал функции
   • Физический смысл дифференциала
   • Первообразная и неопределенный интеграл. Доказать свойства неопределенного интеграла.
   • Доказать теоремы Лагранжа, Коши и Лопиталя.
   • Доказать формулу Тейлора.
   • Монотонность и экстремумы функции. Доказать необходимое и достаточное условие.
   • Выпуклость функци. Доказать необходимое и дотаточное условие для точки перегиба функции.
   • Конструкция определенного интеграла Римана.
   • Доказать свойства определенного интеграла и формулу Ньютона-Лейбница. Не Формула Ньютона-Лейбница
   • Несобственные интегралы первого рода. Признаки сходимости.
   • Несобственные интегралы второго рода. Признаки сходимости.