Доказать принципы компактности и полноты.

Теорема 2. Теорема Больцано-Вейерштрасса - принцип компактности.

Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Доказательство:

Пусть последовательность ограничена, т.е. . Следовательно, множество ограничено. По принципу ТВГ и ТНГ имеем . Построим ССС следующим образом.

Разделим отрезок пополам. Тогда, по крайней мере, в одном из полученных интервалов содержится бесконечное число членов последовательности . Пусть является таковым. Далее, отрезок поделим пополам и выберем тот из полученных, который содержит бесконечное число членов последовательности. Обозначим его и т.д. В результате получим СВС : , причем длина -го отрезка равна .

Назовем самый крайний левый член последовательности, который уже попадает в интервал . Далее, назовем самый крайний левый член последовательности, который уже попадает в интервал при условии, что , и т.д. получим некоторую подпоследовательность , причем .

В соответствии с теоремой Кантора о существовании и единственности точки , принадлежащей всем ССС сразу, имеем и . То по теореме о двух милиционерах подпоследовательность . 

Пример. Рассмотрим последовательность . В последовательности можно выделить подпоследовательности и , которые сходятся к 0 и 1 соответственно.

Определение 2. Последовательность называется фундаментальной, если выполняется соотношение (***): .

Другими словами, модуль разности между сколь угодно далекими членами последовательности может быть сколь угодно мал, если эти члены достаточно далеко.

Пример 3. Критерий Коши - принцип полноты.

Для того, чтобы последовательность была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.

Доказательство:

Необходимость. Пусть сходится, т.е. существует . Тогда имеет место соотношение (**), т.е. существует некоторый номер , начиная с которого . Тогда .

Рассмотрим . Таким образом, выпол-

няется соотношение (***), следовательно, - фундаментальная последовательность.

Достаточность. Пусть - фундаментальная последовательность. Тогда имеет место соотношение (***), т.е. начиная с некоторого номера , или . Это означает, что, начиная с некоторого номера , последовательность ограничена. Тогда в соответствие с принципом компактности из последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность . Пусть . Тогда имеет место соотношение (**), т.е. начиная с номера .

С другой стороны, последовательность фундаментальная. Следовательно, имеет место соотношение (***), т.е. начиная с номера (в силу построения подпоследовательности ). Пусть . Тогда, начиная с номера . Таким образом, выполняется соотношение (**), т.е. последовательность сходится.