Алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы комплексного числа. Получить формулу Муавра и формулу извлечения корня n-ой степени из комплексного числа.

Комплексным числом называется упорядоченная пара действительных чисел такая, что выполняются следующие условия. Пусть и , тогда:

1. ;

2. ;

3. .

Число (первый элемент пары) называется действительной частью числа , а (второй элемент пары) – мнимой частью. Обозначим их через , .

Запись комплексного числа в виде не совсем удобна при выполнении арифметических операций над комплексными числами. Поэтому перейдем к алгебраической форме записи комплексного числа. Пусть . Рассмотрим число и умножим его на :

, т.е. .

Используя введённые обозначения , , , получим: . Такое представление называют алгебраической формой комплексного числа .

Тригонометрическая: Мы можем рассматривать полярные координаты точки, изображающее комплексное число , как модуль и аргумент этого числа. Таким образом, , = . Тогда, учитывая , , получим тригонометрическую форму числа :

.

Пример. Найти модуль и аргумент числа .