Показать существование предела последовательности Бернулли. Число e.

Рассмотрим числовую последовательность . Докажем сходимость этой последовательности.

С этой целью сначала рассмотрим бином Ньютона: .

Пусть . Тогда

.

Теперь пусть .

.

Покажем, что последовательность монотонно возрастает. Для этого рассмотрим член последовательности: .

Увеличилось каждое слагаемое, т.к. увеличилась каждая скобка в силу того, что от единицы отнимается меньшее число. Также появился еще один положительный член. Таким образом, .

Теперь покажем ограниченность последовательности :

.

Таким образом, . Следовательно, последовательность сходится. Оказывается, что , .

23. Содержание

    • Вопросы 1й семестр 1 курс
    • Высказывания. Дизъюнкция. Конъюнция, импликация. Типы теорем. Доказать дизъюнктивную форму импликации. Доказать принцип контрапозиции.
    • 1. 3.1. Высказывания
    • Понятие вектора. Линейная зависимость и линейная независимость векторов. Доказать теоремы о линейной зависимости.
    • Вектор (Гиббс) – математический объект, характеризуемый скалярной величиной, направлением и геометрическим характером сложения.
    • Доказать существование и единственность разложения по базису на плоскости и в пространстве.
    • Доказательство:
    • Скалярное произведение. Доказать его свойства.
    • Свойства скалярного произведения:
    • Дистрибутивность: .
    • Векторное произведение. Доказать его свойства.
    • Свойства векторного произведения:
    • Антикоммутативность: .
    • Дистрибутивность:
    • Смешанное произведение. Доказать критерий компланарности векторов.
    • Получить уравнение плоскости и прямой в пространстве.
    • Определение эллипса. Доказать его свойства.
    • Свойства эллипса
    • Доказательство:
    • Определение гиперболы. Доказать ее свойства.
    • Свойства гиперболы
    • Определение параболы. Доказать ее свойства.
    • Свойства параболы
    • Повехности второго порядка. Полчить уравнения цилиндрических поверхностей и поверхностей вращения.
    • 3. Двуполостной гиперболоид:
    • Цилиндрические поверхности
    • 9 . Гиперболический параболоид
    • Алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы комплексного числа. Получить формулу Муавра и формулу извлечения корня n-ой степени из комплексного числа.
    • Решение:
    • Основная теорема алгебры. Доказать ее следствия.
    • Доказательство:
    • Доказательство леммы:
    • Доказательство:
    • Числовые множества, замкнутость. Показать непрерывность действительной оси. Понятие твг и тнг.
    • Бмп. Доказать свойства бмп.
    • Предел числовой последовательности. Доказать единственность предела последовательности.
    • Последовательности бывают:
    • Бмп (бесконечно малые последовательности);
    • 3. Неограниченные;
    • Пример. Последовательность ограничена, но не является бмп.
    • Показать существование предела последовательности Бернулли. Число e.
    • Доказать принципы компактности и полноты.
    • Доказать основные теоремы о пределах.
    • Доказать существование первого замечательного предела.
    • Доказать существование второго замечательного предела.
    • Непрерывность функции. Доказать критерий непрерывности.
    • Сравнение функции в окрестности точки. Доказать формулы эквивалентности.
    • Производная функции (определение. Геометрический и физический смысл). Доказать правила дифференцирования.
    • Доказать теоремы о производной композиции функции, производная обратной функции и производной функции, заданной параметрически.
    • Доказать формулы для производных основных элементарных функций.
    • Дифференциал функции. Геометрический смысл производной и дифференциала.
    • Геометрический смысл дифференциала
    • Дифференциал функции
    • Физический смысл дифференциала
    • Первообразная и неопределенный интеграл. Доказать свойства неопределенного интеграла.
    • Доказать теоремы Лагранжа, Коши и Лопиталя.
    • Доказать формулу Тейлора.
    • Монотонность и экстремумы функции. Доказать необходимое и достаточное условие.
    • Выпуклость функци. Доказать необходимое и дотаточное условие для точки перегиба функции.
    • Конструкция определенного интеграла Римана.
    • Доказать свойства определенного интеграла и формулу Ньютона-Лейбница. Не Формула Ньютона-Лейбница
    • Несобственные интегралы первого рода. Признаки сходимости.
    • Несобственные интегралы второго рода. Признаки сходимости.