23. Аналіз обмежень дефіцитних і недефіцитних ресурсів

За допомогою двоїстих оцінок можна також визначити статус кожного ресурсу.

Ресурси, що використовуються для виробництва продукції, можна умовно поділити на дефіцитні та недефіцитні залежно від того, повне чи часткове їх використання передбачене оптимальним планом прямої задачі. Якщо деяке значення двоїстої оцінки уі в оптимальному плані двоїстої задачі дорівнює нулю, то відповідний і-й ресурс використовується у виробництві продукції не повністю і є недефіцитним. Якщо ж двоїста оцінка уі > 0, то і-й ресурс використовується для оптимального плану виробництва продукції повністю і називається дефіцитним. Відомо (третя теорема двоїстості), що величина двоїстої оцінки показує, наскільки збільшиться значення цільової функції Z, якщо запас відповідного ресурсу збільшити на одну умовну одиницю.

Статус ресурсів можна визначати трьома способами. Перший — підстановкою значень вектора Х* (оптимального плану виробництва) у систему обмежень прямої задачі. Якщо обмеження виконується як рівняння, то відповідний ресурс дефіцитний, у іншому разі — недефіцитний:

Другий спосіб — через додаткові змінні прямої задачі. Якщо додаткова змінна в оптимальному плані дорівнює нулю, то відповідний ресурс дефіцитний, а якщо більша від нуля — недефіцитний.

Третій спосіб — за допомогою двоїстих оцінок. Якщо уі > 0, то зміна (збільшення або зменшення) обсягів і-го ресурсу приводить до відповідної зміни доходу підприємства, і тому такий ресурс є дефіцитним. Якщо ж уі = 0, то і-й ресурс недефіцитний. Так, у нашому прикладі:у1 = 1/2 > 0

(ресурс 1 дефіцитний);

у2 = 0

(ресурс 2 недефіцитний);

у3 = 2 > 0

(ресурс 3 дефіцитний).

Отже, якщо запас першого дефіцитного ресурсу збільшити на одну умовну одиницю (b1 = 250 + 1 = 251), то цільова функція max Z збільшиться за інших однакових умов на у1 = 1/2 ум. од. і становитиме max Z = 285,5 ум. од.

Цікавим є запитання: «За рахунок яких змін в оптимальному плані виробництва продукції збільшиться дохід підприємства?» Як відомо з § 3.5.1, інформацію про це дають елементи стовпчика «х5» останньої симплекс-таблиці, який відповідає двоїстій оцінці даного ресурсу — у1 = 1/2.

Якщо в початковій задачі значення першого ресурсу зросте на одиницю, то згідно з табл. 3.3. отримаємо:

У новому оптимальному плані значення базисної змінної збільшиться на 1/2, а змінних та — зменшиться відповідно на одиницю та 1/2. При цьому структура плану не зміниться, а нові оптимальні значення будуть такими:

Х* = (0; 0; 34,5; 45,5; 0; 29; 0).

Отже, збільшення запасу першого дефіцитного ресурсу за інших однакових умов уможливлює зростання випуску продукції D за рахунок зменшення виробництва продукції С. За таких умов обсяг використання недефіцитного другого ресурсу також збільшується. За такого плану виробництва максимальний дохід підприємства max Z = 2 х 0 + 4 х 0 + 3 х 34,5 + 4 х 45,5 = 285,5, тобто зросте на у1 = 1/2.

Проаналізуємо, як зміниться оптимальний план виробництва продукції, якщо запас дефіцитного ресурсу 3 за інших однакових умов збільшити на одну умовну одиницю (b3 = 80 + 1 = 81). Аналогічно попереднім міркуванням, скориставшись елементами стовпчика «х7» останньої симплекс-таблиці, що відповідає двоїстій оцінці у3 = 2, можна записати новий оптимальний план:

Х* = (0; 0; 37; 44; 0; 30; 0).

max Z = 2 х 0 + 4 х 0 + 3 х 37 + 4 х 44 = 287.

Отже, виручка підприємства збільшиться на дві умовні одиниці за рахунок збільшення виробництва продукції С на дві одиниці та зменшення випуску продукції D на одну одиницю. За таких обставин обсяг використання ресурсу 2 не змінюється.